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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 思想方法專題 第一講 函數(shù)與方程思想 理
一般地,函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題,經(jīng)常利用的性質(zhì)是:?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等.在解題中,善于挖掘題目的隱含條件,構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì),是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵,它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問(wèn)題.
1.方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù),用它表示問(wèn)題中的其他各量,根據(jù)題中的已知條件列出方程(組),通過(guò)解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究,使問(wèn)題得到解決.
2.方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān):方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過(guò)方程進(jìn)行研究,方程f(x)=a有解,當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.
可用函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問(wèn)題.
1.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:
(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題;
(2)在研究問(wèn)題中通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把研究的問(wèn)題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.
2.方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面:
(1)解方程或解不等式;
(2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論,常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)的應(yīng)用;
(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論,如曲線的位置關(guān)系等;
(4)構(gòu)造方程或不等式求解問(wèn)題.
判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”).
(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()
(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)<0.()
(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).(√)
(4)只要函數(shù)有零點(diǎn),我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.()
(5)函數(shù)y=2sin x-1的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)多個(gè).(√)
(6)函數(shù)f(x)=kx+1在[1,2]上有零點(diǎn),則-1
0得
a(x-2)+x2-4x+4>0.
令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4,由不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在[-1,1]上恒成立.
∴有即
解得x<1或x>3.
4.橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,其一交點(diǎn)為P,則|PF2|=(C)
A. B. C. D.4
解析:如圖,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,
那么?
?r2=.
5.(xx全國(guó)大綱卷)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+2)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f(8)+f(9)=(D)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x), 又因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù),則f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,f(8)=0,同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5);而f(5)=(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故選D.
6.(xx湖南卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ex-(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),則a的取值范圍是(B)
A. B.
C. D.
解析:由題可得存在x0∈(-∞,0)滿足f(x0)=g(-x0)?x+ex0-=(-x0)2+ln(-x0+a)?ex0-ln(-x0+a)-=0,令h(x)=ex-ln(-x+a)-,因?yàn)楹瘮?shù)y=ex和y=-ln(-x+a)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的,所以函數(shù)h(x)=ex-ln(-x+a)-在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,又因?yàn)閤趨近于-∞時(shí),函數(shù)h(x)<0且h(x)=0在(-∞,0)上有解(即函數(shù)h(x)有零點(diǎn)),所以h(0)=e0-ln(0+a)->0?ln a<ln?a<.故選B.
二、填空題
7.(xx江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=則方程|f(x)+g(x)|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為4.
解析:①當(dāng)01.
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè),求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.
解析:∵f(x)=,f(1)=1,
∴=1.∴a=2b+1.
又f(x)=2x,即=2x只有一個(gè)解,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解.
∴Δ=[-2(1+b)]2-42a0=0,即(1+b)2=0.
得b=-1.∴a=-1.故f(x)=.
10.某地區(qū)要在如圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形商業(yè)樓區(qū),余下的作為休閑區(qū),已知AB⊥BC,OA∥BC,且AB=BC=2OA=4 km,曲線OC段是以O(shè)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向上的拋物線的一段,如果矩形的兩邊分別落在AB,BC上,且一個(gè)頂點(diǎn)在曲線OC段上,應(yīng)當(dāng)如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積.
解析:以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為x2=2py,
由C(2,4)代入得:p=,
所以曲線段OC的方程為:y=x2(x∈[0,2]).
A(-2,0),B(-2,4),設(shè)P(x,x2)(x∈[0,2])在OC上,過(guò)P作PQ⊥AB于Q,PN⊥BC于N,
故PQ=2+x,PN=4-x2,
則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積
S=(2+x)(4-x2)(x∈[0,2]).
S=-x3-2x2+4x+8,令S′=-3x2-4x+4=0得x=或x=-2(舍去),
當(dāng)x∈時(shí),S′>0,S是x的增函數(shù),
當(dāng)x∈時(shí),S′<0,S是x的減函數(shù),
所以當(dāng)x=時(shí),S取得最大值,
此時(shí)PQ=2+x=,PN=4-x2=,
Smax==(km2).
故該矩形商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)為 km,寬為 km時(shí),用地面積最大為 km2.
11.近年來(lái),豬肉價(jià)格上漲,養(yǎng)豬所得利潤(rùn)比原來(lái)有所增加.某養(yǎng)殖戶擬建一座平面圖(如圖所示)是矩形且面積為200平方米的豬舍養(yǎng)殖生豬,由于地形限制,豬舍的寬x不少于5米,不多于a米,如果該養(yǎng)殖戶修建豬舍的地基平均每平方米需投入10元,房頂(房頂與地面形狀相同)每平方米需投入15元,豬舍外面的四周墻壁每米需投入20元,中間四條隔墻每米需投入10元.問(wèn):當(dāng)豬舍的寬x定為多少時(shí),該養(yǎng)殖戶投入的資金最少?最少是多少元?
解析:設(shè)該養(yǎng)殖戶投入資金為y元,易知豬舍的長(zhǎng)為米,
∵y=20010+20015+20+4x10=80+5 000(5≤x≤a),
∵函數(shù)f(x)=x+在[5,10]上單調(diào)遞減,在[10,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)a≥10時(shí),ymin=6 600,此時(shí)x=10;
當(dāng)5≤a<10時(shí),ymin=80+5 000,此時(shí)x=a.
∴若a≥10米,豬舍的寬定為10米,該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是6 600元;若5≤a<10米,豬舍的寬就定為a米,該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是[80+5 000]元.
12.直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A,B兩點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)P(-2,0)和線段AB的中點(diǎn)M,求l在y軸上的截距b的取值范圍.
解析:由(x≤-1)消去y,
得(k2-1)x2+2kx+2=0.①
因?yàn)橹本€m與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn),所以方程①有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根.
所以解得1<k<.
設(shè)M(x0,y0),則
由P(-2,0),M,Q(0,b)三點(diǎn)共線,得出b=,
設(shè)f(k)=-2k2+k+2=-2+,
則f(k)在(1,)上為減函數(shù),
∴f()<f(k)<f(1),且f(k)≠0.
∴-(2-)<f(k)<0或0<f(k)<1.
∴b<--2或b>2.
∴b的取值范圍是(-∞,--2)∪(2,+∞).
13.若關(guān)于x的方程4x+a2x+a+1=0有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析:解法一 令2x=t(t>0),則原方程可化為
t2+at+a+1=0,(*)
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(*)在(0,+∞)上有實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.
①當(dāng)方程(*)的根都在(0,+∞)上時(shí),可得下式
?
即-1<a≤2-2,
②當(dāng)方程(*)的根一個(gè)在(0,+∞)上,另一根在(-∞,0]上時(shí),
令f(t)=t2+at+a+1得f(0)≤0,即a≤-1.
由①②知滿足條件的a的取值范圍為
(-∞,2-2].
解法二 令t=2x(t>0),
則原方程可化為t2+at+a+1=0.
變形為a=-=-
=-
=-≤-(2-2)=2-2.
當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取等號(hào).
所以a的取值范圍是(-∞,2-2].
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