2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文 求數(shù)列的通項(xiàng) 訓(xùn)練提示: 求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時(shí)應(yīng)注意各自的適用范圍及注意驗(yàn)證n=1的情況. 1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為70,且a3為a1和a7的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則 解得 所以an=2n+2. (2)因?yàn)閎n+1-bn=an, 所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*) bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1 =n(n+1). 所以==-, 所以Tn=1-+-+…+- =1-=. 2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí)a2=S1+2=4=2a1, 當(dāng)n≥2時(shí),?an+1=2an, 數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n∈N*),且a1=2, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=nan=n2n Tn=121+222+323+…+(n-1)2n-1+n2n 2Tn=122+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1 兩式相減,得 -Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n2n+1 -Tn=-n2n+1, Tn=2+(n-1)2n+1(n∈N*). 求數(shù)列的前n項(xiàng)和 訓(xùn)練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項(xiàng)相消法中注意裂項(xiàng)后的恒等變形,在錯(cuò)位相減法中注意相減后,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列. 3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*). (1)求a2,a3,并證明{an-n}是等比數(shù)列; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得 a2=4,a3=7. an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)], 因?yàn)?2(n≥2,n∈N*). 所以{an-n}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1. 即an=2n-1+n. 所以bn==1+. 設(shè)cn=,且前n項(xiàng)和為Tn, 所以Tn=+++…+① Tn=+++…+② ①-②得Tn=1+(+++…+)- =-=2-. 所以Tn=4-,Sn=n+4-. 4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0. 因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11, 所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d), 即44d2-36d-45=0, 所以d=(d=-舍去), 所以an=. (2)bn== =(-). 所以Tn=(-+-+…+-) =. 數(shù)列的綜合問(wèn)題 訓(xùn)練提示: 解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題,并結(jié)合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問(wèn)題.數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法 求解. 5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2, 因?yàn)镾n=2an-2, 所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即=2. 數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an =1+2+3+…+n =. 由(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立, 即實(shí)數(shù)≥k對(duì)n∈N*恒成立; 設(shè)cn=(n-8)(n+1), 則當(dāng)n=3或4時(shí),cn取得最小值為-10,所以k≤-10. 【教師備用】 (xx陜西卷)設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求f′n(2); (2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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