2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練四 第3講 推理與證明 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練四 第3講 推理與證明 理 考情解讀　1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類(lèi)比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題． 1．合情推理 (1)歸納推理 ①歸納推理是由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理． ②歸納推理的思維過(guò)程如下： →→ (2)類(lèi)比推理 ①類(lèi)比推理是由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理． ②類(lèi)比推理的思維過(guò)程如下： →→ 2．演繹推理 (1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷． (2)合情推理與演繹推理的區(qū)別 歸納和類(lèi)比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理；類(lèi)比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結(jié)論來(lái)看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． 3．直接證明 (1)綜合法 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： →→→…→ (2)分析法 用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為： →→→…→ 4．間接證明 反證法的證明過(guò)程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛 盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過(guò)程．用反證法證明命題“若p，則q”的過(guò)程可以用如圖所示的框圖表示． →→→ 5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟： (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任意n≥n0，且n∈N*時(shí)，命題都成立． 熱點(diǎn)一　歸納推理 例1　(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)兩旅客坐火車(chē)外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車(chē)上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是(　　) A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85 思維啟迪　(1)根據(jù)三個(gè)圖案中的正六邊形個(gè)數(shù)尋求規(guī)律；(2)靠窗口的座位號(hào)碼能被5整除或者被5除余1. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個(gè)數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5(6－1)＝31. 故選B. (2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件． 思維升華　歸納遞推思想在解決問(wèn)題時(shí)，從特殊情況入手，通過(guò)觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想． 　(1)四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號(hào)位上(如圖)，第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第202次互換座位后，小兔坐在第______號(hào)座位上． 1鼠 2猴 3兔 4貓 　 開(kāi)始 1兔 2貓 3鼠 4猴 第一次 1貓 2兔 3猴 4鼠 第二次 1猴 2鼠 3貓 4兔 第三次 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有________________． 答案　(1)B　(2)f(2n)>(n≥2，n∈N*) 解析　(1)考慮小兔所坐的座位號(hào)，第一次坐在1號(hào)位上，第二次坐在2號(hào)位上，第三次坐在4號(hào)位上，第四次坐在3號(hào)位上，第五次坐在1號(hào)位上，因此小兔的座位數(shù)更換次數(shù)以4為周期，因?yàn)?02＝504＋2，因此第202次互換后，小兔所在的座位號(hào)與小兔第二次互換座位號(hào)所在的座位號(hào)相同，因此小兔坐在2號(hào)位上，故選B. (2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>， f(25)>，所以當(dāng)n≥2時(shí)，有f(2n)>. 故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)． 熱點(diǎn)二　類(lèi)比推理 例2　(1)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類(lèi)似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. (2)已知雙曲正弦函數(shù)shx＝和雙曲余弦函數(shù)chx＝與我們學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類(lèi)似的性質(zhì)，請(qǐng)類(lèi)比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫(xiě)出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類(lèi)似的正確結(jié)論________． 思維啟迪　(1)平面幾何中的面積可類(lèi)比到空間幾何中的體積；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后驗(yàn)證． 答案　(1)　(2)ch(x－y)＝chx chy－shx shy 解析　(1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝. (2)chx chy－shx shy＝－ ＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chx chy＋shx shy， 或sh(x－y)＝shx chy－chx shy， 或sh(x＋y)＝shx chy＋chx shy. 思維升華　類(lèi)比推理是合情推理中的一類(lèi)重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類(lèi)事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類(lèi)比遷移的客觀因素，類(lèi)比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比，也可以由解題方法上的類(lèi)似引起．當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類(lèi)比，例2即屬于此類(lèi)題型．一般來(lái)說(shuō)，高考中的類(lèi)比問(wèn)題多發(fā)生在橫向與縱向類(lèi)比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類(lèi)比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類(lèi)比等． 　(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類(lèi)比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ (2)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)偶性質(zhì)，如對(duì)于橢圓有如下命題：AB是橢圓＋＝1(a>b>0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOMkAB＝－.那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOMkAB＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)由{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d， 則bn＝＝a1＋d， 又正項(xiàng)數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q， 則dn＝＝＝c1，故選D. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則有 將A，B代入雙曲線－＝1中得 －＝1，－＝1， 兩式相減，得＝， 即＝， 即＝， 即kOMkAB＝. 熱點(diǎn)三　直接證明和間接證明 例3　已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；數(shù)列{bn}滿足： bn＝a－a (n≥1)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 思維啟迪　(1)利用已知遞推式中的特點(diǎn)構(gòu)造數(shù)列{1－a}；(2)否定性結(jié)論的證明可用反證法． (1)解　已知＝化為＝， 而1－a＝， 所以數(shù)列{1－a}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 則1－a＝n－1，則a＝1－n－1， 由anan＋1<0，知數(shù)列{an}的項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn)， 因此an＝(－1)n＋1 ， bn＝a－a＝－n＋n－1 ＝n－1. (2)證明　假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設(shè)m0， 當(dāng)n＝3時(shí)，(4n－4n－1)＝>0，… 猜想當(dāng)n≥2時(shí)，T2n>2n2＋， 即n≥2時(shí)，4n>4n＋1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝2時(shí)，42＝16,42＋1＝9,16>9，成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)成立，即4k>4k＋1. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，4k＋1＝44k>4(4k＋1) ＝16k＋4>4k＋5＝4(k＋1)＋1， 所以n＝k＋1時(shí)成立． 由①②得，當(dāng)n≥2時(shí)，4n>4n＋1成立． 綜上，當(dāng)n＝1時(shí)，T2n<2n2＋， 當(dāng)n≥2時(shí)，T2n>2n2＋. 思維升華　在使用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，在歸納假設(shè)后，歸納假設(shè)就是證明n＝k＋1時(shí)的已知條件，把歸納假設(shè)當(dāng)已知條件證明后續(xù)結(jié)論時(shí)，可以使用綜合法、分析法、反證法． 　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)， 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．以上均不正確 答案　B 解析　從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理． 2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 答案　C 解析　觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3,4,7,11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng)． 繼續(xù)寫(xiě)出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十項(xiàng)為123，即a10＋b10＝123. 3．已知x>0，觀察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般結(jié)論：x＋≥n＋1(n∈N*)，則a的值為(　　) A．nn B．n2 C．3n D．2n 答案　A 解析　根據(jù)已知，續(xù)寫(xiě)一個(gè)不等式： x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.故選A. 4．已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3>0，則f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　) A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為0 D．可正可負(fù) 答案　A 解析　由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0， 所以a1>－a5. 由于f(x)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)， 所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0， 又f(a3)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0. 故選A. 5．在平面內(nèi)點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝1；類(lèi)似地，如果點(diǎn)O是空間內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D中任意三點(diǎn)均不共線，并且這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z等于(　　) A．0 B．－1 C．1 D．1 答案　B 解析　在平面內(nèi)，由三角形法則， 得＝－，＝－. 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線， 所以存在實(shí)數(shù)t，使＝t，即－＝t(－)， 所以＝－＋(＋1). 因?yàn)椋溅耍?，所以λ＝－，μ＝?， 所以λ＋μ＝1. 類(lèi)似地，在空間內(nèi)可得＝λ＋μ＋η，λ＋μ＋η＝1. 因?yàn)椋剑詘＋y＋z＝－1.故選B. 6．已知f(n)＝32n＋2－8n－9，存在正整數(shù)m，使n∈N*時(shí)，能使m整除f(n)，則m的最大值為(　　) A．24 B．32 C．48 D．64 答案　D 解析　由f(1)＝64，f(2)＝704＝1164，f(3)＝6 528＝10264， 所以f(1)，f(2)，f(3)均能被64整除，猜想f(n)能被64整除． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由上得證； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k＋2－8k－9＝9k＋1－8k－9能被64整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝9(k＋1)＋1－8(k＋1)－9＝99k＋1－8k－17＝9f(k)＋64(k＋1)． 由歸納假設(shè)，f(k)是64的倍數(shù)，又64(k＋1)是64的倍數(shù)，所以f(k＋1)能被64整除，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 因?yàn)閒(1)不能被大于64的數(shù)整除， 所以所求m的最大值等于64.故選D. 二、填空題 7．如圖所示的是由火柴棒拼成的一列圖形，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成， 通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)第4個(gè)圖形中，火柴棒有________根；第n個(gè)圖形中，火柴棒有________根． 答案　13,3n＋1 解析　易得第四個(gè)圖形中有13根火柴棒，通過(guò)觀察可得，每增加一個(gè)正方形，需增加三根火柴棒，所以第n個(gè)圖形中的火柴棒為4＋3(n－1)＝3n＋1. 8．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為_(kāi)_______． 答案　 解析　1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個(gè)區(qū)域． 9．(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)， 甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市； 乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市； 丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市． 由此判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)_______． 答案　A 解析　由題意可推斷：甲沒(méi)去過(guò)B城市，但比乙去的城市多，而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市”，說(shuō)明甲去過(guò)A，C城市，而乙“沒(méi)去過(guò)C城市”，說(shuō)明乙去過(guò)城市A，由此可知，乙去過(guò)的城市為A. 10．對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59，則m＝________. 答案　8 解析　由已知可觀察出m3可分裂為m個(gè)連續(xù)奇數(shù)，最小的一個(gè)為(m－1)m＋1.當(dāng)m＝8時(shí)，最小的數(shù)為57，第二個(gè)便是59.所以m＝8. 三、解答題 11．已知a，b，m為非零實(shí)數(shù)，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0. (1)求證：＋≥； (2)求證：m≥. 證明　(1)(分析法)要證＋≥成立， 只需證(＋)(a2＋b2)≥9， 即證1＋4＋＋≥9， 即證＋≥4. 根據(jù)基本不等式，有＋≥2＝4成立， 所以原不等式成立． (2)(綜合法)因?yàn)閍2＋b2＝m－2，＋＝2m－1， 由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9， 即2m2－5m－7≥0， 解得m≤－1或m≥. 又∵a2＋b2＝m－2>0 ∴m>2,故m≤－1舍去， ∴m≥. 12．若不等式＋＋…＋>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 解　方法一　當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋>， 即>，所以a<26. 而a是正整數(shù)，所以取a＝25， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 ＋＋…＋>. ①當(dāng)n＝1時(shí)，已證得不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立， 即＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 有＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－]． 因?yàn)椋? ＝－ ＝ ＝>0， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由①②知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有＋＋…＋>， 所以正整數(shù)a的最大值為25. 方法二　設(shè)f(n)＝＋＋…＋ 則f(n＋1)－f(n)＝＋＋－ ＝＋－＝>0， ∴數(shù)列{f(n)}為遞增數(shù)列， ∴f(n)min＝f(1)＝＋＋＝， ∴＋＋＋…＋>對(duì)一切正整數(shù)n都成立可轉(zhuǎn)化為

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練四 第3講 推理與證明 2019 年高 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 專(zhuān)題 訓(xùn)練 推理 證明

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本文標(biāo)題：2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練四 第3講 推理與證明 理.doc
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