2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第3章函數(shù)第17課時(shí)二次函數(shù)的運(yùn)用.doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第3章函數(shù)第17課時(shí)二次函數(shù)的運(yùn)用 【精學(xué)】 考點(diǎn)一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情況等價(jià)于拋物線y=ax2+bx+c(c≠0)與直線y=0(即x軸)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的公共點(diǎn)有三種情況：兩個(gè)公共點(diǎn)（即有兩個(gè)交點(diǎn)），一個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)，因此有： (1)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)(x2，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根△=b2-4ac＞0。 (2)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此公共點(diǎn)即為頂點(diǎn)(，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根， (3)拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有公共點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根△=b2-4ac＜0. 考點(diǎn)二、二次函數(shù)應(yīng)用題 一、轉(zhuǎn)化思想一一實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求幾次函數(shù)的最仇問題。 1、方案設(shè)計(jì)最優(yōu)問題：費(fèi)用鼓低？利潤最大？儲(chǔ)量最大？等等。 2、面積最優(yōu)化問題：全面觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出相應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系．列出包含吶數(shù)，自變量在內(nèi)的等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式．求最低問題 二、建模思想——從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程。 1、建立圖像模型：自主建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造二次函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題。 2、方程模型和不等式模型：根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系．列出方程或不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決問題。 【巧練】 題型一、二次函數(shù)與一元二次方程 例1．（xx?廣西南寧）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數(shù)y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根之和（　?。? A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 【答案】C 【分析】設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2＞0，a＞0，設(shè)方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論． 【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 例2．（xx?濱州）拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】對于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 【點(diǎn)評】此題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線解析式中令一個(gè)未知數(shù)為0，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，確定出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)． 題型二 利用二次函數(shù)解決拋物線形問題 例3.（xx浙江金華）圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可近似看成拋物線，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面，有AC⊥x軸，若OA=10米，則橋面離水面的高度AC為（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B． 【分析】主要是利用拋物線的解析式以及OA=10來進(jìn)行解答，關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定A點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，繼而得到問題的答案． 【解析】∵AC⊥x軸，OA=10米，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣10，當(dāng)x=﹣10時(shí)，==，∴C（﹣10，），∴橋面離水面的高度AC為m．故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)來解決實(shí)際問題中的距離問題，能正確地確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵． 【方法技巧規(guī)律】利用二次函數(shù)解決拋物線形問題，一般是先根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出合適的二次函數(shù)的解析式，把實(shí)際問題中已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解，最后要把求出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案 題型三、二次函數(shù)的應(yīng)用題 例4.（xx湖北鄂州）（本題滿分10分）某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)120元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑。如果游客居住房間，賓館需對每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用，設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加10 x元（x為整數(shù)）。 ⑴（2分）直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式。 ⑵（4分）設(shè)賓館每天的利潤為W元，當(dāng)每間房價(jià)定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？ ⑶（4分）某日，賓館了解當(dāng)天的住宿的情況，得到以下信息：①當(dāng)日所獲利潤不低于5000元，②賓館為游客居住的房間共支出費(fèi)用沒有超過600元，③每個(gè)房間剛好住滿2人。問：這天賓館入住的游客人數(shù)最少有多少人？ 【答案】(1)y=－x＋50;(2)每間房價(jià)定價(jià)為320元時(shí)，每天利潤最大，最大利潤為9000元.(3)20. 【解析】 試題解析：解：⑴y=－x＋50; (2）設(shè)該賓館房間的定價(jià)為元（x為整數(shù)），那么賓館內(nèi)有（50-x）個(gè)房間被旅客居住，依題意，得 W=（-x+50)(120+10x-20) W=（-x +50)(10x+100) =-10(x一20)+9000 所以當(dāng)x=20，即每間房價(jià)定價(jià)為10x20+120=320元時(shí)，每天利潤最大，最大利潤為9000元． ，解得 當(dāng)x=40時(shí)，這天賓館入住的游客人數(shù)最少有：2y=2（-x+50）=2（-40+50）=20（人） 題型四、拋物線與幾何圖形 例5（xx上海市）如圖，拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣5），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=5OB，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D． （1）求這條拋物線的表達(dá)式； （2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積； （3）如果點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且∠BEO=∠ABC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）18；（3）E（0，）． 【解析】 試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C， 又因?yàn)辄c(diǎn)Ｂ在ｘ軸負(fù)半軸上，故 ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)Ａ（４，－５）和點(diǎn)Ｂ（－１,０），∴解得?！噙@條拋物線表達(dá)式為 （２）由，得頂點(diǎn)Ｄ坐標(biāo)為（２，－９）。連接ＡＣ， ∵點(diǎn)Ａ坐標(biāo)為（４，－５）點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為（０，－５），又 （３）過點(diǎn)Ｃ做ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ， 在Ｒｔ△ＢＣＨ中，∠ＢＨＣ＝９０， 在Ｒｔ△ＢＯＥ中，∠ＢＯＥ＝９０， 【限時(shí)突破】 1．（xx?永州）拋物線y=x2+2x+m﹣1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（　　） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2 2.（xx?資陽）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且圖象過A（x1，m）、B（x1+n，m）兩點(diǎn)，則m、n的關(guān)系為（　?。? A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2 3.（xx貴州銅仁[）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時(shí)，這時(shí)水面寬度AB為（ ） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 4.（xx湖北十堰）一茶葉專賣店經(jīng)銷某種品牌的茶葉，該茶葉的成本價(jià)是80元/kg，銷售單價(jià)不低于120元/kg．且不高于180元/kg，經(jīng)銷一段時(shí)間后得到如下數(shù)據(jù)： 銷售單價(jià)x（元/kg） 120 130 … 180 每天銷量y（kg） 100 95 … 70 設(shè)y與x的關(guān)系是我們所學(xué)過的某一種函數(shù)關(guān)系． （1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍； （2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，銷售利潤最大？最大利潤是多少？ 5.（xx四川省巴中市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（m＜0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線的對稱軸與直線相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線上（不與原點(diǎn)重合），連接PD，過點(diǎn)P作PF⊥PD交y軸于點(diǎn)F，連接DF． （1）如圖①所示，若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求拋物線的解析式； （2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）如圖②所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，∠PDF的大小為定值，進(jìn)而猜想：對于直線上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），∠PDF的大小為定值．請你判斷該猜想是否正確，并說明理由． 6．（xx四川省成都市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，），頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)． （1）求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)； （2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式； （3）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由． 【答案解析】 1.【分析】由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△=b2﹣4ac＞0，從而求出m的取值范圍． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，注：①拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則△＞0；②拋物線與x軸無交點(diǎn)，則△＜0；③拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則△=0． 2【答案】D.. 【分析】由“拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”推知x=﹣時(shí)，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根據(jù)拋物線對稱軸的定義知點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論． 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c， ∵b2=4c， ∴m=n2， 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意得出拋物線的對稱軸方程是解答此題的關(guān)鍵． 3.【答案】C. 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，把y＝一4直接代入解析式即可解得，所認(rèn)A（－10，－4),B(10，-4).即可得水面寬度AB為20m．故選c. 4. 【答案】(1)y=﹣0.5x+160，120≤x≤180；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為180元時(shí)，銷售利潤最大，最大利潤是7000元． 【解析】 試題分析：（1）觀察由表格可知，銷售單價(jià)沒漲10元，就少銷售5kg，即可判定y與x是一次函數(shù)關(guān)系，由待定系數(shù)法求函數(shù)解析即可；（2）設(shè)銷售利潤為w元，根據(jù)題意得出w與x的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大利潤． 試題解析：（1）∵由表格可知：銷售單價(jià)沒漲10元，就少銷售5kg， ∴y與x是一次函數(shù)關(guān)系， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=100﹣0.5（x﹣120）=﹣0.5x+160， ∵銷售單價(jià)不低于120元/kg．且不高于180元/kg， ∴自變量x的取值范圍為：120≤x≤180； （2）設(shè)銷售利潤為w元， 則w=（x﹣80）（﹣0.5x+160）=﹣x2+200x﹣12800=﹣（x﹣200）2+7200， ∵a=﹣＜0，∴當(dāng)x＜200時(shí)，y隨x的增大而增大， ∴當(dāng)x=180時(shí)，銷售利潤最大，最大利潤是：w=﹣（180﹣200）2+7200=7000（元）， 答：當(dāng)銷售單價(jià)為180元時(shí)，銷售利潤最大，最大利潤是7000元． 考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用． 5.【答案】（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60． 【解析】 （2）由（1）的可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)； （3）先由一次函數(shù)的解析式得到∠PBF的度數(shù)，然后再由PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，證明點(diǎn)O、D、P、F共圓，最后依據(jù)圓周角定理可證明∠PDF=60． 試題解析：（1）∵，∴=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，∴A（﹣5，0）、B（1，0），∴拋物線的對稱軸為x=﹣2．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為為，∴﹣9m=，∴m=，∴拋物線的解析式為； （2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）； （3）∠PDF=60．理由如下： 如圖所示，∵OP的解析式為，∴∠AOP=30，∴∠PBF=60 ∵PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，∴∠DPF=∠FOD=90，∴∠DPF+∠FOD=180，∴點(diǎn)O、D、P、F共圓，∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60． 考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．定值問題． 6.【答案】（1），A（－4，0），B（2，0）；（2）y＝2x＋2或；（3）存在，N（－， 1）． 【解析】 試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，），∴a﹣3=，解得：，∴ 當(dāng)y=0時(shí)，有，∴ ，，∴A（﹣4，0），B（2，0）． （2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，），D（﹣1，﹣3） ∴S四邊形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC==10． 從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況： ①當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時(shí)，則S△AHM1＝10＝3，∴3（－yM1）＝3，∴yM1＝－2，點(diǎn)M1（﹣2，﹣2），過點(diǎn)H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直線l的解析式為y=2x+2． ②當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時(shí)，同理可得點(diǎn)M2（，﹣2），過點(diǎn)H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直線l的解析式為． 綜上所述：直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2或． 假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖，直線DN∥PQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k﹣3，由，解得：， ， ∴N（，）． ∵四邊形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴，整理得：，，∵ ＞0，∴，解得，∵k＜0，∴，∴P（－，6），M（－，2），N（－， 1），∴PM=DN=，∵PM∥DN，∴四邊形DMPN是平行四邊形，∵DM=DN，∴四邊形DMPN為菱形，∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，1）．