2019年高考數學二輪復習 專題訓練九 第2講 數形結合思想 理.doc
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2019年高考數學二輪復習 專題訓練九 第2講 數形結合思想 理 1.數形結合的數學思想:包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面,其應用大致可以分為兩種情形:一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系,即以形作為手段,數作為目的,比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質;二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數作為手段,形作為目的,如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質. 2.運用數形結合思想分析解決問題時,要遵循三個原則: (1)等價性原則.在數形結合時,代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的,否則解題將會出現漏洞.有時,由于圖形的局限性,不能完整的表現數的一般性,這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明,要注意其帶來的負面效應. (2)雙方性原則.既要進行幾何直觀分析,又要進行相應的代數抽象探求,僅對代數問題進行幾何分析容易出錯. (3)簡單性原則.不要為了“數形結合”而數形結合.具體運用時,一要考慮是否可行和是否有利;二要選擇好突破口,恰當設參、用參、建立關系、做好轉化;三要挖掘隱含條件,準確界定參變量的取值范圍,特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線. 3.數形結合思想解決的問題常有以下幾種: (1)構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍. (2)構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍. (3)構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系. (4)構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式. (5)構建立體幾何模型研究代數問題. (6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題. (7)構建方程模型,求根的個數. (8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等. 4.數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧,特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練,以提高解題能力和速度.具體操作時,應注意以下幾點: (1)準確畫出函數圖象,注意函數的定義域. (2)用圖象法討論方程(特別是含參數的方程)的解的個數是一種行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式(有時可能先作適當調整,以便于作圖),然后作出兩個函數的圖象,由圖求解. 熱點一 利用數形結合思想討論方程的根 例1 (xx山東)已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數k的取值范圍是( ) A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 答案 B 解析 先作出函數f(x)=|x-2|+1的圖象,如圖所示,當直線g(x)=kx與直線AB平行時斜率為1,當直線g(x)=kx過A點時斜率為,故f(x)=g(x)有兩個不相等的實根時,k的范圍為(,1). 思維升華 用函數的圖象討論方程(特別是含參數的指數、對數、根式、三角等復雜方程)的解的個數是一種重要的思想方法,其基本思想是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時,需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數),然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖象,圖象的交點個數即為方程解的個數. 設函數f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關于x的方程f(x)=x的解的個數為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 解得b=4,c=2,∴f(x)= 作出函數y=f(x)及y=x的函數圖象如圖所示, 由圖可得交點有3個. 熱點二 利用數形結合思想解不等式、求參數范圍 例2 (1)已知奇函數f(x)的定義域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上單調遞增,若f(1)=0,則滿足xf(x)<0的x的取值范圍是________. (2)若不等式|x-2a|≥x+a-1對x∈R恒成立,則a的取值范圍是________. 答案 (1)(-1,0)∪(0,1) (2) 解析 (1)作出符合條件的一個函數圖象草圖即可,由圖可知xf(x)<0的x的取值范圍是(-1,0)∪(0,1). (2)作出y=|x-2a|和y=x+a-1的簡圖,依題意知應有2a≤2-2a, 故a≤. 思維升華 求參數范圍或解不等式問題時經常聯系函數的圖象,根據不等式中量的特點,選擇適當的兩個(或多個)函數,利用兩個函數圖象的上、下位置關系轉化數量關系來解決問題,往往可以避免煩瑣的運算,獲得簡捷的解答. (1)設A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},則使A?B成立的實數m的取值范圍是__________. (2)若不等式≤k(x+2)-的解集為區(qū)間[a,b],且b-a=2,則k=________. 答案 (1)[-1,+∞) (2) 解析 (1)集合A是一個圓x2+(y-1)2=1上的點的集合,集合B是一個不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內的點的集合, 要使A?B,則應使圓被平面區(qū)域所包含(如圖),即直線x+y+m=0應與圓相切或相離(在圓的下方),而當直線與圓相切時有=1,又m>0, 所以m=-1, 故m的取值范圍是m≥-1. (2)令y1=, y2=k(x+2)-,在同一個坐標系中作出其圖象,因≤k(x+2)-的解集為[a,b]且b-a=2. 結合圖象知b=3,a=1,即直線與圓的交點坐標為(1,2). 又因為點(-2,-)在直線上, 所以k==. 熱點三 利用數形結合思想解最值問題 例3 (1)已知P是直線l:3x+4y+8=0上的動點,PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A、B是切點,C是圓心,則四邊形PACB面積的最小值為________. (2)已知點P(x,y)的坐標x,y滿足則x2+y2-6x+9的取值范圍是( ) A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16] 答案 (1)2 (2)B 解析 (1)從運動的觀點看問題,當動點P沿直線3x+4y+8=0向左上方或右下方無窮遠處運動時,直角三角形PAC的面積SRt△PAC=|PA||AC|=|PA|越來越大,從而S四邊形PACB也越來越大;當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時,S四邊形PACB變小,顯然,當點P到達一個最特殊的位置,即CP垂直直線l時,S四邊形PACB應有唯一的最小值, 此時|PC|==3, 從而|PA|==2. 所以(S四邊形PACB)min =2|PA||AC|=2. (2)畫出可行域如圖,所求的x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方,由圖形知最小值為Q到射線x-y-1=0(x≥0)的距離d的平方,最大值為|QA|2=16. ∵d2=()2=()2=2. ∴取值范圍是[2,16]. 思維升華 (1)在幾何的一些最值問題中,可以根據圖形的性質結合圖形上點的條件進行轉換,快速求得最值. (2)如果(不)等式、代數式的結構蘊含著明顯的幾何特征,就要考慮用數形結合的思想方法來解題,即所謂的幾何法求解. (1)(xx重慶)設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|PQ|的最小值為( ) A.6 B.4 C.3 D.2 (2)若實數x、y滿足則的最小值是____. 答案 (1)B (2)2 解析 (1)由題意,知圓的圓心坐標為(3,-1),圓的半徑長為2,|PQ|的最小值為圓心到直線x=-3的距離減去圓的半徑長,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故選B. (2)可行域如圖所示. 又的幾何意義是可行域內的點與坐標原點連線的斜率k. 由圖知,過點A的直線OA的斜率最小. 聯立得A(1,2), 所以kOA==2.所以的最小值為2. 1.在數學中函數的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數的幾何意義等都實現以形助數的途徑,當試題中涉及這些問題的數量關系時,我們可以通過圖形分析這些數量關系,達到解題的目的. 2.有些圖形問題,單純從圖形上無法看出問題的結論,這就要對圖形進行數量上的分析,通過數的幫助達到解題的目的. 3.利用數形結合解題,有時只需把圖象大致形狀畫出即可,不需要精確圖象. 4.數形結合思想常用模型:一次、二次函數圖象;斜率公式;兩點間的距離公式(或向量的模、復數的模);點到直線的距離公式等. 真題感悟 1.(xx重慶)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( ) A.5-4 B.-1 C.6-2 D. 答案 A 解析 設P(x,0),設C1(2,3)關于x軸的對稱點為C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C1′C2|==5. 而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5-4. 2.(xx江西)在平面直角坐標系中,A,B分別是x軸和y軸上的動點,若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為( ) A.π B.π C.(6-2)π D.π 答案 A 解析 ∵∠AOB=90,∴點O在圓C上. 設直線2x+y-4=0與圓C相切于點D, 則點C與點O間的距離等于它到直線2x+y-4=0的距離, ∴點C在以O為焦點,以直線2x+y-4=0為準線的拋物線上, ∴當且僅當O,C,D共線時,圓的直徑最小為|OD|. 又|OD|==, ∴圓C的最小半徑為, ∴圓C面積的最小值為π()2=π. 3.(xx課標全國Ⅰ)已知函數f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 D 解析 函數y=|f(x)|的圖象如圖. ①當a=0時,|f(x)|≥ax顯然成立. ②當a>0時,只需在x>0時, ln(x+1)≥ax成立. 比較對數函數與一次函數y=ax的增長速度. 顯然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立. ③當a<0時,只需在x<0時,x2-2x≥ax成立. 即a≥x-2成立,所以a≥-2. 綜上所述:-2≤a≤0.故選D. 4.(xx天津)已知函數f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根,則實數a的取值范圍為________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 設y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐標系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的圖象如圖所示. 由圖可知f(x)-a|x-1|=0有4個互異的實數根等價于y1=|x2+3x|與y2=a|x-1|的圖象有4個不同的交點.當4個交點橫坐標都小于1時, 有兩組不同解x1,x2, 消y得x2+(3-a)x+a=0,故Δ=a2-10a+9>0, 且x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1,聯立可得00, 且x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1,聯立可得a>9, 綜上知,09. 押題精練 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的個數是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 (數形結合法) ∵a>0,∴a2+1>1. 而y=|x2-2x|的圖象如圖, ∴y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個交點. 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對任意實數x恒成立,則實數a的取值范圍為( ) A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 A 解析 f(x)=|x+3|-|x-1|=畫出函數f(x)的圖象,如圖,可以看出函數f(x)的最大值為4,故只要a2-3a≥4即可,解得a≤-1或a≥4.正確選項為A. 3.經過P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點,則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________,________. 答案 [-1,1] [0,]∪[,π) 解析 如圖所示,結合圖形:為使l與線段AB總有公共點,則kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0時,傾斜角α為鈍角,k=0時,α=0,k>0時,α為銳角. 又kPA==-1, kPB==1,∴-1≤k≤1. 又當0≤k≤1時,0≤α≤; 當-1≤k<0時,≤α<π.故傾斜角α的取值范圍為α∈[0,]∪[,π). 4.(xx山東)在平面直角坐標系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點,則|OM|的最小值是________. 答案 解析 由題意知原點O到直線x+y-2=0的距離為|OM|的最小值. 所以|OM|的最小值為=. 5.(xx江西)過點(,0)引直線l與曲線y=相交于A、B兩點,O為坐標原點,當△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率為________. 答案?。? 解析 ∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤. 當∠AOB=時,S△AOB面積最大. 此時O到AB的距離d=. 設AB方程為y=k(x-)(k<0),即kx-y-k=0. 由d==得k=-. 6.設函數f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它們在x=1處的切線互相平行. (1)求b的值; (2)若函數F(x)=且方程F(x)=a2有且僅有四個解,求實數a的取值范圍. 解 函數g(x)=bx2-ln x的定義域為(0,+∞), (1)f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0, g′(x)=2bx-?g′(1)=2b-1, 依題意得2b-1=0,所以b=. (2)x∈(0,1)時,g′(x)=x-<0,即g(x)在(0,1)上單調遞減, x∈(1,+∞)時,g′(x)=x->0,即g(x)在(1,+∞)上單調遞增, 所以當x=1時,g(x)取得極小值g(1)=; 當a=0時,方程F(x)=a2不可能有四個解; 當a<0,x∈(-∞,-1)時,f′(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上單調遞減, x∈(-1,0)時,f′(x)>0, 即f(x)在(-1,0)上單調遞增, 所以當x=-1時,f(x)取得極小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖(1)所示, 從圖象可以看出F(x)=a2不可能有四個解. 當a>0,x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-1)上單調遞增, x∈(-1,0)時,f′(x)<0, 即f(x)在(-1,0)上單調遞減, 所以當x=-1時,f(x)取得極大值f(-1)=2a. 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖(2)所示, 從圖(2)看出,若方程F(x)=a2有四個解,則- 配套講稿:
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