2018年高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計案例 3.1 獨立性檢驗教學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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3.1 獨立性檢驗 1．22列聯(lián)表的定義 對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.這些取值可用下面的22列聯(lián)表表示. 　　2 .χ2統(tǒng)計量的求法 公式χ2＝． 3．獨立性檢驗的概念 用統(tǒng)計量χ2研究兩變量是否有關(guān)的方法稱為獨立性檢驗． 4．獨立性檢驗的步驟 要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行： (1)提出假設(shè)H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系； (2)根據(jù)22列聯(lián)表及χ2公式，計算的值； (3)查對臨界值，作出判斷． 其中臨界值如表所示： P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 χ0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 　　表示在H0成立的情況下，事件“χ2≥x0”發(fā)生的概率． 5．變量獨立性判斷的依據(jù) (1)如果>10.828時，那么有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”； (2)如果>6.635時，那么有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”； (3)如果>2.706時，那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”； (4)如果≤2.706時，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系． 1．在22列聯(lián)表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5. 2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ與Ⅱ關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ與Ⅱ關(guān)系越強(qiáng)．同時要記準(zhǔn)表中a，b，c，d四個數(shù)據(jù)是交叉相乘然后再作差取絕對值，一定不要乘錯． 3．表中類A與類B，以及類1與類2的關(guān)系：對于對象Ⅰ來說，類A與類B是對立的，也就是說類A發(fā)生，類B一定不發(fā)生，類A不發(fā)生，則類B一定發(fā)生；同樣對于對象Ⅱ來說，類1與類2的關(guān)系也是如此． 　　[例1]　在一項有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表． [思路點撥]　在22列聯(lián)表中，共有兩類變量，每一類變量都有兩個不同的取值，然后找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，列表即可． [精解詳析]　作列聯(lián)表如下： 喜歡甜食 不喜歡甜食 合計 男 117 413 530 女 492 178 670 合計 609 591 1 200 [一點通]　分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果． 1．下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合計 b 46 則表中a，b的值分別為________，________． 解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54. 答案：52　54 2．某學(xué)校對高三學(xué)生作一項調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中在考前心情緊張的有213人 .作出22列聯(lián)表． 解：作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 合計 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 合計 426 594 1 020 　　[例2]　下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表： 得病 不得病 合計 干凈水 52 466 518 不干凈水 94 218 312 合計 146 684 830 (1)這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由； (2)若飲用干凈水得病5人，不得病50人，飲用不干凈水得病9人，不得病22人．按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時的差異． [思路點撥]　(1)根據(jù)表中的信息計算χ2的值，并根據(jù)臨界值表來分析相關(guān)性的大小，對于(2)要列出22列聯(lián)表，方法同(1)． [精解詳析]　(1)假設(shè)H0：傳染病與飲用水無關(guān)．把表中數(shù)據(jù)代入公式，得 χ2＝≈54.21， 因為當(dāng)H0成立時，χ2≥10.828的概率約為0.001， 所以我們有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān)． (2)依題意得22列聯(lián)表： 得病 不得病 合計 干凈水 5 50 55 不干凈水 9 22 31 合計 14 72 86 此時，χ2＝≈5.785. 由于5.785＞2.706， 所以我們有90%的把握認(rèn)為該種疾病與飲用不干凈水有關(guān)． 兩個樣本都能統(tǒng)計得到傳染病與飲用不干凈水有關(guān)這一相同結(jié)論，但(1)中我們有99.9%的把握肯定結(jié)論的正確性，(2)中我們只有90%的把握肯定． [一點通]　解決獨立性檢驗問題的基本步驟是：①指出相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表；②求χ2的值；③判斷可能性，注意與臨界值作比較，得出事件有關(guān)的可能性大?。? 3．某保健藥品，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不使用該藥品的418人中僅有18人患A疾病，請用所學(xué)知識分析該藥品對患A疾病是否有效？ 解：依題意得22的列聯(lián)表： 患病 不患病 合計 使用 5 100 105 不使用 18 400 418 合計 23 500 523 要判斷該藥品對患A疾病是否有效，即進(jìn)行獨立性檢驗提出假設(shè)H0：該藥品對患A疾病沒有效． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得 χ2＝≈0.041 45<0.455， 而查表可知P(χ2≥0.455)≈0.5，故沒有充分的理由認(rèn)為該保健藥品對預(yù)防A疾病有效． 4．在國家未實施西部開發(fā)戰(zhàn)略前，一新聞單位在應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)抽取1 000人問卷，只有80人志愿加入西部建設(shè)．而國家實施西部開發(fā)戰(zhàn)略后，隨機(jī)抽取1 200名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生問卷，有400人志愿加入國家西部建設(shè)．實施西部開發(fā)戰(zhàn)略是否對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響？ 解：依題意，得22列聯(lián)表： 志愿者 非志愿者 合計 開發(fā)戰(zhàn)略公布前 80 920 1 000 開發(fā)戰(zhàn)略公布后 400 800 1 200 合計 480 1 720 2 200 提出假設(shè)H0：實施西部開發(fā)戰(zhàn)略的公布對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇沒有產(chǎn)生影響，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得 χ2＝≈205.22. 因為當(dāng)H0成立時，χ2≥10.828的概率約為0.001，所以有99.9%的所握認(rèn)為西部開發(fā)戰(zhàn)略的實施對應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生的選擇產(chǎn)生了影響． 獨立性檢驗的基本思想與反證法的思想比較 反證法 獨立性檢驗 要證明結(jié)論A 要確認(rèn)“兩個對象有關(guān)系” 在A不成立的前提下進(jìn)行推理 假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個對象沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下計算χ2 推出矛盾意味著結(jié)論A成立 由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定可信程度上說明假設(shè)不合理 沒有找到矛盾，不能對A下任何結(jié)論，即反證法不成立 根據(jù)隨機(jī)變量χ2的含義，可以通過概率P(χ2≥x0)的大小來評價該假設(shè)不合理的程度有多大，從而得出“兩個對象有關(guān)系” 這一結(jié)論成立的可信程度有多大 課下能力提升(十八) 一、填空題 1．在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的．(有關(guān)，無關(guān)) 解析：由χ2值可判斷有關(guān)． 答案：有關(guān) 2．若兩個研究對象X和Y的列聯(lián)表為： y1 y2 x1 5 15 x2 40 10 則X與Y之間有關(guān)系的概率約為________． 解析：因為χ2＝≈18.8，查表知P(χ2≥10.828)≈0.001. 答案：99.9% 3．在吸煙與患肺病這兩個對象的獨立性檢驗的計算中，下列說法正確的是________．(填序號) ①若χ2＝6.635，則我們認(rèn)為有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系．那么在100個吸煙的人中必有99人患肺?。? ②從獨立性檢驗的計算中求有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我們認(rèn)為如果某人吸煙，那么他有99%的可能患肺?。? ③若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤． ④以上三種說法都不正確． 解析：由獨立性檢驗的意義可知，③正確． 答案：③ 4．調(diào)查者詢問了72名男女大學(xué)生在購買食品時是否觀看營養(yǎng)說明得到如下22列聯(lián)表： 看營養(yǎng)說明 不看營養(yǎng)說明 總計 男大學(xué)生 28 8 36 女大學(xué)生 16 20 36 總計 44 28 72 從表中數(shù)據(jù)分析大學(xué)生的性別與看不看營養(yǎng)說明之間的關(guān)系是________．(填“有關(guān)”或“無關(guān)”) 解析：提出假設(shè)H0：大學(xué)生的性別與看不看營養(yǎng)說明無關(guān)，由題目中的數(shù)據(jù)可計算χ2＝≈8.42，因為當(dāng)H0成立時，P(χ2≥7.879)≈0.005，這里的χ2≈8.42>7.879，所以我們有99.5%的把握認(rèn)為大學(xué)生的性別與看不看營養(yǎng)說明有關(guān)． 答案：有關(guān) 5．有人發(fā)現(xiàn)，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調(diào)查機(jī)構(gòu)對此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果： 冷漠 不冷漠 合計 多看電視 68 42 110 少看電視 20 38 58 合計 88 80 168 則由表可知大約有________的把握認(rèn)為多看電視與人變冷漠有關(guān)系． 解析：由公式得χ2＝≈11.377>10.828，所以我們有99.9%的把握說，多看電視與人變冷漠有關(guān)． 答案：99.9% 二、解答題 6．為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對某年級學(xué)生作調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 成績優(yōu)秀 成績較差 合計 興趣濃厚的 64 30 94 興趣不濃厚的 22 73 95 合計 86 103 189 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好壞與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？ 解析：提出假設(shè)H0：學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好壞與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣無關(guān)． 由公式得χ2的值為 χ2＝≈38.459. ∵當(dāng)H0成立時，χ2≥10.828的概率約為0.001， 而這里χ2≈38.459>10.828， ∴有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好壞與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是有關(guān)的． 7．考察小麥種子經(jīng)過滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗觀察，得到數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表. 種子滅菌 種子未滅菌 合計 有黑穗病 26 184 210 無黑穗病 50 200 250 合計 76 384 460 試按照原試驗?zāi)康淖鹘y(tǒng)計推斷． 解：提出假設(shè)H0：種子是否滅菌與有無黑穗病無關(guān)． 由公式得，χ2＝≈4.804. 由于4.804>3.841，即當(dāng)H0成立時，χ2>3.841的概率約為0.05，所以我們有95%的把握認(rèn)為種子是否滅菌與有無黑穗病是有關(guān)系的． 8．為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響，現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場時，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試用獨立性檢驗的方法分析監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響． 解：22列聯(lián)表如下 合格品數(shù) 次品數(shù) 合計 甲在生產(chǎn)現(xiàn)場 982 8 990 甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場 493 17 510 合計 1 475 25 1 500 提出假設(shè)H0：質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量的好壞無明顯關(guān)系． 根據(jù)χ2公式得 χ2＝≈13.097. 因為H0成立時，χ2>10.828的概率約為0.001， 而這里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量的好壞有關(guān)系．