九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 解決圓錐問題的四字秘訣試題 （新版）青島版.doc

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解決圓錐問題的四字秘訣 關(guān)于圓錐的側(cè)面展開圖計算問題在中考中時常出現(xiàn)，這類問題的解答，可以用四個字來概括：一、二、三、四。其中： “一個轉(zhuǎn)化”，是指將圓錐側(cè)面問題轉(zhuǎn)化為平面圖形——扇形問題； “二個對應(yīng)”，是指圓錐的底面周長對應(yīng)著扇形的弧長，圓錐的母線長對應(yīng)著扇形的半徑； “三個圖形”，是指圓錐側(cè)面問題常常需要用到圓形、扇形、直角三角形來解決； “四個公式”，是指圓錐側(cè)面問題需要用 ①l2=r2+h2，其中，如圖，圓錐的底面半徑r，圓錐母線ι，圓錐的高h，構(gòu)成直角三角形； ② ③S側(cè)=2πrι=πrι ④。 圓錐側(cè)面問題公式的靈活應(yīng)用 圓錐側(cè)面問題四個公式共有5個量：l、h、r、n、S側(cè)，由于每個公式中只有三個量，從而只要知道其中的兩個量，就可以將另外三個量利用方程或方程組求出來。 一、計算圓心角的度數(shù) 例題1 （浙江中考）若圓錐的軸截面為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（ ） A. 90 B. 120 C. 150 D. 180 解析：因為此圓錐為正圓錐，所以圓錐底面圓的直徑等于展開圖扇形的半徑，然后利用弧長公式求解。 解：設(shè)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n，半徑為r，則圓錐的底面直徑也為r，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，可得，解得n=180。 答案：D 點撥：在解決圓錐與展開圖有關(guān)問題時，可以利用“圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長”這一規(guī)律解決問題。 二、計算圓錐的底面積 例題2 如圖，圓錐形冰淇淋盒的母線長是13cm，高是12cm，則該圓錐形底面圓的面積是（ ） A. 10πcm2 B. 25πcm2 C. 60πcm2 D. 65πcm2 解析：作出圓錐的軸切面圖，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，進而求出其面積。 解：作出圓錐的軸切面圖及高，如圖，則AB＝13cm，AD＝12 cm，AD⊥BC，BC＝2BD，所以BD＝5 cm，因而底面圓的面積為πr2＝25π（cm2），故選B。 答案：B 點撥：圓錐的軸切面圖為等腰三角形，等腰三角形底邊上的高為圓錐的高，腰為圓錐的母線長，底邊為圓錐底面圓的直徑，圓錐軸切面的相關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理進行計算。 三、計算圓錐的側(cè)面積 例題3 在學校組織的實踐活動中，小新同學用紙板制作了一個圓錐模型，它的底面半徑為1，高為2，則這個圓錐的側(cè)面積（ ） A. 4π B. 3π C. 2π D. 2π 解析：先根據(jù)勾股定理求得圓錐的母線長，再代入圓錐側(cè)面積的公式計算即可。 解：∵圓錐的底面半徑為r=1，高為2，∴圓錐的母線長l=，∴圓錐的側(cè)面積==π13=3π，故選B。 答案：B 點撥：這類題要熟記圓錐的側(cè)面積公式S=πrl及圓錐的高h、母線l、底面半徑為r的關(guān)系：。解決這類問題的方法有：①列式計算，②運用方程思想列方程來計算。 計算線路最短問題 滿分訓(xùn)練 如圖，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點，一只小蟲從點A出發(fā)，繞側(cè)面爬行一周，再回到點A的最短的路線長是多少？ 解析：我們知道“兩點之間，線段最短”，沿母線SA作側(cè)面展開圖如圖，本題實際是求將圓錐的側(cè)面沿著母線OA展開，求點A到A′的距離AA′。 解：將圓錐沿母線SA作側(cè)面展開圖，得扇形O AA′， 設(shè)扇形的圓心角為θ，因為圓錐的底面半徑為r=1，母線長為3，根據(jù)2πr=，得 2π1=，所以θ=120。即扇形的圓心角∠AOA′為120，作OD⊥AA′，垂足為D，在Rt△AOD中，∠OAD=30，OA=3。 所以O(shè)D=，據(jù)勾股定理，得可求得AD=，所以AA′=2AD=。 答案： 點撥：小蟲從點A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，從圓錐上看是曲線，而在側(cè)面展開圖上看是直線，“化曲為直”是解決此類問題的關(guān)鍵。 （答題時間：30分鐘） 1. 用半徑為3cm，圓心角是120的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為（ ） A. 2πcm B. 1.5cm C. πcm D. 1cm 2. 已知圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，則這個圓錐的母線長為（ ）。 A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm 3. 圓錐底面圓的半徑為3cm，其側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐母線長為（ ） A. 3cm　 　 B. 6cm　　 　 C. 9cm　 　　 D. 12cm 4. 若圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的母線l與底面半徑r的關(guān)系是（ ） A. l＝2r B. l＝3r C. l＝r D. l＝ *5. 一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角是 。 6. 圓錐的側(cè)面積為6cm2，底面圓的半徑為2cm，則這個圓錐的母線長為 cm *7. 已知一個扇形的半徑為60厘米，圓心角為150。用它圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為厘米。 *8. 若圓錐的母線長為5cm，底面圓的半徑為3cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為 cm2（結(jié)果保留π）。 *9. 用半徑為10cm，圓心角為216的扇形作一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐的高。 **10. 如圖所示的一扇形紙片，圓心角∠AOB為120，弦AB的長為，用它圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），求該圓錐底面的半徑。 *11. 已知圓錐的底面周長是10π，其側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為90，求該圓錐的母線長。 **12. 如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角。  1. D 解析：依題意，得這個圓錐的底面半徑＝2π＝1，故選D。 2. B 解析：先根據(jù)半徑與高互相垂直，然后利用勾股定理求母線長?！?r2＋h2＝l2，∴ 62＋82＝l2，∴ l＝10㎝，故選B。 3. B 解析：圓錐的母線長=圓錐的底面周長=2π3=6cm。故選B。 4. A 解析：根據(jù)以上分析，則圓錐的底面周長為，展開圖扇形弧長是，因此，則 l＝2r，故選A。 *5. 180 解析：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r， 圓心角n，則，即，∴側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n=360=180。故答案為180。 6. 3 解析：設(shè)圓錐的母線長為R，因底面圓的半徑為2cm，所以底面圓的周長=側(cè)面扇形的弧長=22=4，又扇形的面積=4R=6，解得R=3，故填3。 *7. 25 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線長R=60 cm，因為圓錐的底面周長等于其側(cè)面展開圖的弧長，所以2πr=，解得r=25。 *8. 15π 解析：∵圓錐的側(cè)面積S=πrl，，r=3 cm，l=5∴S=15π cm2。 *9. 解析：扇形的弧長是：=12π（cm），設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr=12π，解得：r=6cm，則圓錐的高是：=8（cm）。 **10. 解析：過O點作OE⊥AB，垂足為點E，∵OA=OB，AB=cm，∴AE=cm，∠AOE=60，∴OA=2cm，∴弧AB的長，設(shè)該圓錐底面的半徑為r，∴，∴r=cm。 *11. 解析：設(shè)圓錐的母線長為l?！邎A錐的底面周長是10π，∴圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的弧長是10π?！邆?cè)面展開后所得扇形的圓心角為90，∴?！鄉(xiāng)＝20，即該圓錐的母線長是20。 **12. 解析：因為2r=l。 所以l=2r，所以sin∠BAO=，所以∠BAO=30，所以母線AB與高AO的夾角為30。