2018-2019版高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式專題檢測試卷 新人教A版選修4-5.docx
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第四講 數學歸納法證明不等式 專題檢測試卷(四) (時間:90分鐘 滿分:120分) 一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分) 1.如果命題P(n)對n=k成立,那么它對n=k+2成立,又若P(n)對n=1成立,則P(n)對所有( ) A.正整數n成立 B.正偶數n成立 C.正奇數n成立 D.大于1的自然數n成立 答案 C 2.若等式12+22+32+…+n2=(5n2-7n+4),則( ) A.n為任何正整數時都成立 B.僅當n=1,2,3時成立 C.當n=4時成立,n=5時不成立 D.僅當n=4時不成立 答案 B 解析 分別用n=1,2,3,4,5驗證即可. 3.用數學歸納法證明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)時,第一步應驗證不等式( ) A.1+<2- B.1++<2- C.1+<2- D.1++<2- 答案 A 解析 第一步驗證n=2時不等式成立,即1+<2-. 4.已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用數學歸納法證明a4n能被4整除,假設a4k能被4整除,然后應該證明( ) A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除 C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除 答案 D 解析 假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,即a4k能被4整除,然后應證明當n=k+1時,即a4(k+1)=a4k+4能被4整除. 5.設f(n)=1++++…+,則f(k+1)-f(k)等于( ) A. B.++ C.+ D.+ 答案 D 解析 當n=k(k≥1,k∈N+)時,f(k)=1+++…+, 當n=k+1時, f(k+1)=1+++…+++, 所以f(k+1)-f(k)=+. 6.用數學歸納法證明“42n-1+3n+1(n∈N+)能被13整除”的第二步中,當n=k+1時為了使用歸納假設,對42k+1+3k+2變形正確的是( ) A.16(42k-1+3k+1)-133k+1 B.442k+93k C.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1 D.3(42k-1+3k+1)-1342k-1 答案 A 解析 假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,42n-1+3n+1能被13整除, 則當n=k+1時, 42k+1+3k+2=1642k-1+33k+1 =16(42k-1+3k+1)-133k+1. 7.已知1+23+332+433+…+n3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N+都成立,那么a,b,c的值為( ) A.a=,b=c= B.a=b=c= C.a=0,b=c= D.a,b,c不存在 答案 A 解析 令n等于1,2,3,得 解得a=,b=c=. 8.已知n為正偶數,用數學歸納法證明:1-+-+…-=2時,若已假設n=k(k≥2且為偶數)時,等式成立,則還需要用歸納假設再證( ) A.n=k+1時等式成立 B.n=k+2時等式成立 C.n=2k+2時等式成立 D.n=2(k+2)時等式成立 答案 B 解析 偶數k的后繼偶數為k+2,故應再證n=k+2時等式成立. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 9.用數學歸納法證明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在驗證當n=1時,等式右邊的式子是________. 答案 cosα 解析 當n=1時,右邊==cosα. 10.仔細觀察下列不等式: >, >, >, >, 則第n個不等式為______________________________. 答案 …>(n∈N+) 11.觀察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,…,由此猜測第n個不等式為____________________________. 答案 1+++…+>(n∈N+) 解析 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1, 31=25-1,歸納第n個式子為1+++…+>(n∈N+). 12.設n∈N+,f(n)=5n+23n-1+1,通過計算n=1,2,3,4時f(n)的值,可以猜想f(n)能被數值________整除. 答案 8 三、解答題(本大題共6小題,每小題10分,共60分) 13.用數學歸納法證明:當n∈N+時,++…+=. 證明 (1)當n=1時,左邊==,右邊==,左邊=右邊,所以等式成立. (2)假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,等式成立,即++…+=. 則當n=k+1時, ++…++ =+= == =. 即當n=k+1時,等式也成立. 由(1)(2)可知,對一切n∈N+等式都成立. 14.用數學歸納法證明:f(n)=352n+1+23n+1(n∈N+)能被17整除. 證明 (1)當n=1時,f(1)=353+24=391=1723, 故f(1)能被17整除. (2)假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立. 即f(k)=352k+1+23k+1能被17整除, 則當n=k+1時,f(k+1)=352k+3+23k+4 =52352k+1+5223k+1-5223k+1+23k+4 =25f(k)-1723k+1. 由歸納假設可知,f(k)能被17整除,又1723k+1顯然可被17整除,故f(k+1)能被17整除. 綜合(1)(2)可知,對任意正整數n,f(n)能被17整除. 15.設an=1+++…+(n∈N+),是否存在關于n的整式q(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=q(n)(an-1)對于大于1的一切正整數n都成立?證明你的結論. 解 假設q(n)存在,探索q(n). 當n=2時,由a1=q(2)(a2-1), 即1=q(2),得q(2)=2. 當n=3時,由a1+a2=q(3)(a3-1), 即1+=q(3),得q(3)=3. 當n=4時,由a1+a2+a3=q(4)(a4-1), 即1++= q(4),得q(4)=4. 由此猜想q(n)=n(n≥2,n∈N+). 下面用數學歸納法證明當n≥2且n∈N+時, 等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立. ①當n=2時,左邊=a1=1,右邊=2(a2-1)=2=1,結論成立. ②假設當n=k(k≥2,k∈N+)時結論成立, 即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1), 則當n=k+1時,a1+a2+a3+…+ak-1+ak =k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k =(k+1)ak-(k+1)+1 =(k+1) =(k+1)(ak+1-1), 所以當n=k+1時結論也成立. 由①②可知,對于大于1的一切正整數n,都存在q(n)=n使得等式a1+a2+a3+…+an-1=q(n)(an-1)成立. 16.如果數列{an}滿足條件:a1=-4,an+1=(n=1,2,…),證明:對任何正整數n,都有an+1>an且an<0. 證明 (1)由于a1=-4, a2===>a1. 且a1<0,因此,當n=1時不等式成立. (2)假設當n=k(k≥1)時,ak+1>ak且ak<0,即 ak+1=<0, ak+2-ak+1=- =>0. 所以當n=k+1時不等式也成立, 由(1)(2)知,不等式對任何正整數n都成立. 因此,對任何正整數n,都有an+1>an且an<0. 17.在數列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數列,bn,an+1,bn+1成等比數列(n∈N+). (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測{an},{bn}的通項公式,并證明你的結論; (2)證明:++…+<. (1)解 由條件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1. 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2. 下面用數學歸納法證明: ①當n=1時,由以上知結論成立. ②假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,結論成立, 即ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么當n=k+1時, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2), bk+1==(k+2)2. 所以當n=k+1時,結論也成立. 由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數都成立. (2)證明?。?. 當n≥2且n∈N+時,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 故++…+ <+ =+ =+<+=. 故原不等式成立. 18.已知a,b∈R+,n∈N+.求證:≥n. 證明 (1)當n=1時,≥,顯然成立. (2)假設當n=k(k≥1,k∈N+)時,不等式成立, 即≥k. 要證n=k+1時,不等式成立, 即證≥k+1. 在≥k的兩邊同時乘以,得 ≥k+1. 要證≥k+1, 只需證≥, 因為≥ ?2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk) ?2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+akb+bk+1)≥0 ?ak+1-abk-akb+bk+1≥0 ?(a-b)(ak-bk)≥0. 又a-b與(ak-bk)同正負(或同時為0), 所以不等式(a-b)(ak-bk)≥0顯然成立. 所以當n=k+1時,不等式成立. 綜合(1)(2)可知,對任何n∈N+,不等式恒成立.- 配套講稿:
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