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專題5.1 功 功率
考點精講
一、 功
1.做功的兩個必要條件
力和物體在力的方向上發(fā)生的位移.
2.公式
W=Flcos α,適用于恒力做功,其中α為F、l方向間夾角,l為物體對地的位移.
3.功的正負判斷
夾角
功的正負
α<90
力對物體做正功
α>90
力對物體做負功,或者說物體克服這個力做了功
α=90
力對物體不做功
二、 功率
1.定義
功與完成這些功所用時間的比值.
2.物理意義
描述做功的快慢.
3.公式
(1)P=,P為時間t內(nèi)的平均功率.
(2)P=Fvcos α(α為F與v的夾角)
①v為平均速度,則P為平均功率.
②v為瞬時速度,則P為瞬時功率.
4.額定功率與實際功率
(1)額定功率:動力機械正常工作時輸出的最大功率.
(2)實際功率:動力機械實際工作時輸出的功率,要求小于或等于額定功率.
5.平均功率的計算
(1)利用=.
(2)利用=Fcos α,其中為物體運動的平均速度.
6.瞬時功率的計算
(1)利用公式P=Fvcos α,其中v為t時刻的瞬時速度.
(2)利用公式P=FvF,其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度.
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv為物體受的外力F在速度v方向上的分力.
考點精練
題組1 功
1.運動員用200 N的力把質(zhì)量為0.5 kg的球踢出10 m,則運動員對球所做的功是( )
A.200 J B.2 000 J C.100 J D.無法確定
【答案】D
2.以一定的初速度豎直向上拋出一個小球,小球上升的最大高度為h,空氣阻力的大小恒為F,則從拋出到落回到拋出點的過程中,空氣阻力對小球做的功為( )
A.0 B.-Fh
C. Fh D.-2Fh
【答案】D
【解析】 阻力與小球速度方向始終相反,故阻力一直做負功,W=-Fh+(-Fh)=-2Fh,D正確.
3.如圖所示,物體在水平桌面上,當對它施加圖A的拉力F,使它由靜止發(fā)生位移x,當對它施加圖B的推力F,使它由靜止發(fā)生位移x,F(xiàn)與水平方向夾角均為α,則關(guān)于做功的下述說法中正確的是( )
A.圖B中F做功多
B.圖A、B中F做功相同
C.圖B中克服摩擦力做功多
D.圖A、B中克服摩擦力做功相同
【答案】BC
【解析】力F做功WF=Fxcos α,兩圖中F做功相同,A錯、B對;由于摩擦力fA=μ(mg-Fsin α),fB=μ(mg+Fsin α),所以克服摩擦力做功WA=fAs=μ(mg-Fsin α)x,WB=fBs=μ(mg+Fsin α)x,C對、D錯。
4.如圖所示,一個物塊在與水平方向成α角的恒力F作用下,沿水平面向右運動一段距離x,在此過程中,恒力F對物塊所做的功為( )
A. B.
C.Fxsin α D.Fxcos α
【答案】D
【解析】由于力F與位移x的夾角為α,所以力F做的功為W=Fxcos α,故D正確.
5.如圖所示,水平路面上有一輛質(zhì)量為M的汽車,車廂中有一個質(zhì)量為m的人正用恒力F向前推車廂,在車以加速度a向前加速行駛距離L的過程中,下列說法正確的是( )
A.人對車的推力F做的功為FL
B.人對車做的功為maL
C.車對人的作用力大小為ma
D.車對人的摩擦力做的功為(F+ma)L
【答案】AD
題組2 正功與負功
1.一個力對物體做了負功,則說明( )
A.這個力一定阻礙物體的運動
B.這個力不一定阻礙物體的運動
C.這個力與物體運動方向的夾角α>90
D.這個力與物體運動方向的夾角α<90
【答案】AC
【解析】由功的表達式W=Fxcos α知,只有當α>90時,cos α<0,力對物體做負功,此力阻礙物體的運動,故A、C對。
2.一個人乘電梯從1樓到20樓,在此過程中經(jīng)歷了先加速,后勻速,再減速的運動過程,則電梯支持力對人做功的情況是( )
A.加速時做正功,勻速時不做功,減速時做負功
B.加速時做正功,勻速和減速時做負功
C.加速和勻速時做正功,減速時做負功
D.始終做正功
【答案】D
3.運動員在110米欄比賽中,主要有起跑加速、途中勻速跨欄和加速沖刺三個階段,運動員的腳與地面間不會發(fā)生相對滑動,以下說法正確的是( )
A.加速階段地面對運動員的摩擦力做正功
B.勻速階段地面對運動員的摩擦力做負功
C.由于運動員的腳與地面間不發(fā)生相對滑動,所以不論加速還是勻速,地面對運動員的摩擦力始終不對運動員做功
D.無論加速還是勻速階段,地面對運動員的摩擦力始終做負功
【答案】C
【解析】因運動員的腳與地面間不發(fā)生相對滑動,故地面對運動員的靜摩擦力對運動員不做功,A、B、D均錯誤,C正確.
4.放在粗糙水平面上的物體受到水平拉力的作用,在0~6 s內(nèi)其速度與時間圖象和該拉力的功率與時間圖象分別如圖所示,下列說法正確的是( )
A.0~6 s內(nèi)物體位移大小為36 m
B.0~6 s內(nèi)拉力做的功為30 J
C.合外力在0~6 s內(nèi)做的功與0~2 s內(nèi)做的功相等
D.滑動摩擦力大小為5 N
【答案】C
題組3 功率
1.如圖所示,通過一動滑輪提升質(zhì)量m=1 kg的物體,豎直向上拉繩子,使物體由靜止開始以5 m/s2的加速度上升,不計動滑輪及繩子的質(zhì)量和摩擦,則拉力F在1 s末的瞬時功率為(取g=10 m/s2)( )
A.75 W B.25 W
C.12.5 W D.37.5 W
【答案】A
【解析】由牛頓第二定律得2F-mg=ma,得F=7.5 N。1 s末物體的速度為v1=at=5 m/s,力F作用點的速度v2=2v1=10 m/s,則拉力F在1 s末的瞬時功率為P=Fv2=75 W.故A正確。
2.如圖所示,質(zhì)量相同的兩物體從同一高度由靜止開始運動,A沿著固定在地面上的光滑斜面下滑,B做自由落體運動.兩物體分別到達地面時,下列說法正確的是( )
A.重力的平均功率PA>PB
B.重力的平均功率PA=PB
C.重力的瞬時功率PA=PB
D.重力的瞬時功率PA<PB
【答案】D.
【解析】B做自由落體運動,運動時間tB= .A做勻加速直線運動,a=gsin θ,根據(jù)=gsin θt得,tA=,可知tA>tB.重力做功相等,根據(jù)P=知,PA<PB,A、B錯誤.根據(jù)動能定理,mgh=mv2得,兩物體到達地面時的速度大小均為v=.A物體重力的瞬時功率PA=mgvsin θ,B物體重力的瞬時功率PB=mgv.則PA<PB.C錯誤,D正確.
3.(多選)一質(zhì)量為1 kg的質(zhì)點靜止于光滑水平面上,從t=0時刻開始,受到水平外力F作用,如圖所示.下列判斷正確的是( )
A.0~2 s內(nèi)外力的平均功率是4 W
B.第2 s內(nèi)外力所做的功是4 J
C.第2 s末外力的瞬時功率最大
D.第1 s末與第2 s末外力的瞬時功率之比為9∶4
【答案】AD
【解析】第1 s末質(zhì)點的速度
v1=t1=1 m/s=3 m/s.
第2 s末質(zhì)點的速度
v2=v1+t2=(3+1)m/s=4 m/s.
則第2 s內(nèi)外力做功
W2=mv-mv=3.5 J
0~2 s內(nèi)外力的平均功率
P==W=4 W.
選項A正確,選項B錯誤;
第1 s末外力的瞬時功率P1=F1v1=33 W=9 W,
第2 s末外力的瞬時功率P2=F2v2=14 W=4 W,故P1∶P2=9∶4,選項C錯誤,選項D正確.
4.如圖所示,位于水平面上的物體在水平恒力F1作用下,做速度為v1的勻速運動;若作用力變?yōu)樾毕蛏系暮懔2,物體做速度為v2的勻速運動,且F1與F2功率相同。則可能有( )
A.F2=F1 v1>v2 B.F2=F1 v1
F1 v1>v2 D.F2F1時,有v1>v2、v1 v2 B.v1< v2 C.F1> F2 D.F1< F2
【答案】AD
9.質(zhì)量為m的汽車,啟動后沿平直路面行駛,如果發(fā)動機的功率恒為P,且行駛過程中受到的摩擦阻力大小一定,汽車速度能夠達到的最大值為v,那么當汽車的車速為時,汽車的瞬時加速度的大小為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】當汽車勻速行駛時,有f=F=,根據(jù)P=F′,得F′=,由牛頓第二定律得a===,故B正確,A、C、D錯誤.
10.質(zhì)量為2 kg的物體放在水平面上,物體與水平面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1,在水平拉力F的作用下,物體由靜止開始運動,拉力做的功W和物體發(fā)生的位移x之間的關(guān)系如圖所示,g=10 m/s2.下列說法中正確的是( )
A.此物體在OA段做勻加速直線運動,且整個過程中拉力的最大功率為15 W
B.此物體在AB段做勻速直線運動,且整個過程中拉力的最大功率為4 W
C.此物體在AB段做勻加速直線運動,且整個過程中拉力的最大功率為15 W
D.此物體在OA段做勻速直線運動,且整個過程中拉力的最大功率為15 W
【答案】A.
11. 某汽車發(fā)動機的額定功率為60 kW,汽車質(zhì)量為5 t,汽車在運動中所受阻力的大小恒為車重的0.1倍.(g取10 m/s2)
(1)若汽車以額定功率啟動,則汽車所能達到的最大速度是多少?當汽車速度達到5 m/s時,其加速度是多少?
(2)若汽車以恒定加速度0.5 m/s2啟動,則其勻加速過程能維持多長時間?
【答案】(1)12 m/s 1.4 m/s2 (2)16 s
【解析】(1)當汽車的加速度為零時,汽車的速度v達到最大值vm,此時牽引力與阻力相等,故最大速度為
vm=== m/s=12 m/s
v=5 m/s時的牽引力
F1== N=1.2104 N,
由F1-Ff=ma得:a=
= m/s2=1.4 m/s2.
(2)當汽車以a′=0.5 m/s2的加速度啟動時的牽引力
F2=ma′+Ff=(5 0000.5+0.1510310) N
=7 500 N
勻加速運動能達到的最大速度為
v′m== m/s=8 m/s
由于此過程中汽車做勻加速直線運動,滿足v′m=a′t
故勻加速過程能維持的時間t== s=16 s.
方法突破
方法1 判定力做功情況的方法
詮釋: 判斷力做功正負的三種方法
(1)恒力做功的判斷:若物體做直線運動,則依據(jù)力與位移的夾角來判斷.
(2)曲線運動中功的判斷:若物體做曲線運動,則依據(jù)F與v的方向夾角來判斷.當0≤α<90時,力對物體做正功;當90<α≤180時,力對物體做負功;當α=90時,力對物體不做功.
(3)依據(jù)能量變化來判斷:根據(jù)功是能量轉(zhuǎn)化的量度,若有能量轉(zhuǎn)化,則必有力對物體做功.此法常用于判斷兩個相聯(lián)系的物體之間的相互作用力做功的情況.
題組4 判定力做功情況的方法
1.如圖所示為生活中磨刀的示意圖,磨刀石靜止不動,刀在手的推動下從右勻速運動到左,發(fā)生位移x,設(shè)刀與磨刀石之間的摩擦力大小為Ff,則下列敘述中正確的是( )
A.摩擦力對刀做負功,大小為Ffx
B.摩擦力對刀做正功,大小為Ffx
C.摩擦力對磨刀石做正功,大小為Ffx
D.摩擦力對磨刀石不做功
【答案】AD
【解析】刀所受摩擦力向右,刀對地的位移向左,故摩擦力對刀做負功,為-Ffx;磨刀石受摩擦力向左,但磨刀石對地位移為零,故摩擦力對磨刀石不做功。
2.(多選)如圖所示,質(zhì)量為m的物體置于傾角為θ的斜面上,物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ,在外力作用下,斜面以加速度a沿水平方向向左做勻加速運動,運動中物體m與斜面體相對靜止.則關(guān)于斜面對m的支持力和摩擦力的下列說法中正確的是( )
A.支持力一定做正功
B.摩擦力一定做正功
C.摩擦力可能不做功
D.摩擦力可能做負功
【答案】ACD
3.如圖所示,木塊M上表面是水平的,當木塊m置于M上,并與M一起沿固定的光滑斜面由靜止開始下滑,在下滑過程中( )
A.重力對m做正功
B.M對m的支持力對m做負功
C.M對m的摩擦力對m做負功
D.m所受的合外力對m做負功
【答案】AB
【解析】對m受力分析,位移分析如圖所示.
其中重力與位移夾角為銳角,故做正功,A對。支持力與位移夾角為鈍角做負功,B對.摩擦力與位移夾角為銳角,做正功,C錯。m所受合力沿斜面向下,故合力做正功,D錯。
4.如圖所示,小物塊位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上,從地面上看,在小物塊沿斜面下滑的過程中,斜面對小物塊的作用力( )
A.垂直于接觸面,做功為0
B.垂直于接觸面,做功不為0
C.不垂直于接觸面,做功為0
D.不垂直于接觸面,做功不為0
【答案】B
【解析】當滑塊從頂端滑至底端時,由于接觸面光滑,斜面將向右移動一段距離,如圖所示.
重力對滑塊做正功,盡管斜面對滑塊的支持力垂直于斜面,但滑塊的位移方向與斜面不平行,即支持力FN與位移的夾角大于。所以斜面對滑塊的支持力對滑塊做負功.很容易分析,滑塊對斜面的壓力對斜面做正功.B正確。
5.一輛正沿平直路面行駛的車廂內(nèi),一個面向車前進方向站立的人對車廂壁施加水平推力F,在車前進s的過程中,下列說法正確的是( )
A.當車勻速前進時,人對車做的總功為正功
B.當車加速前進時,人對車做的總功為負功
C.當車減速前進時,人對車做的總功為負功
D.不管車如何運動,人對車做的總功都為零
【答案】B.
方法2求解變力做功的方法
詮釋:常用求變力功的方法:(1)(2)微元法(3)等效法(4)圖像法(5)(6)動能定理(7)功能關(guān)系 (8)W=Pt
題組5 求解變力做功的方法
1.以某一初速度豎直向上拋出一個質(zhì)量為m的小球,上升的最大高度是h.如果空氣阻力F阻的大小恒定,則從拋出到落回出發(fā)點的整個過程中,空氣阻力對小球做的功為( )
A.0 B.-F阻h
C.-2mgh D.-2F阻h
【答案】D
【解析】整個過程中阻力是變力,分段求功,上升階段阻力做的功W1=-F阻h,下降階段阻力做的功W2=-F阻h,總功為W=W1+W2=-2F阻h,D正確。
2.用鐵錘把小鐵釘釘入木板,設(shè)木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比,已知鐵錘第一次將釘子釘進d,如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同,那么,第二次釘子進入木板的深度是( )
A.(-1) d B.(-1)d
C.d D.d
【答案】B
3.(微元法)如圖所示,某個力F=10 N作用在半徑為R=1 m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上,力F的大小保持不變,但方向保持在任何時刻均與作用點的切線一致,則轉(zhuǎn)動一周這個力F做的總功為( )
A.0 B.20π J
C.10 J D.10π J
【答案】B
【解析】本題中力F的大小不變,但方向時刻都在變化,屬于變力做功問題,可以考慮把圓周分割為很多的小段來研究.當各小段的弧長足夠小時,可以認為力的方向與弧長代表的位移方向一致,故所求的總功為W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+…=F(Δs1+Δs2+Δs3+…)=F2πR=20π J,選項B正確。
4.(多選)如圖所示,擺球質(zhì)量為m,懸線長為L,把懸線拉到水平位置后放手.設(shè)在擺球運動過程中空氣阻力F阻的大小不變,則下列說法正確的是( )
A.重力做功為mgL
B.懸線的拉力做功為0
C.空氣阻力F阻做功為-mgL
D.空氣阻力F阻做功為-F阻πL
【答案】ABD
5. (圖像法) 某物體同時受到兩個在同一直線上的力F1、F2的作用,由靜止開始做直線運動,力F1、F2與位移x的關(guān)系圖象如圖所示,在物體開始運動的4.0 m內(nèi),物體具有最大動能時對應(yīng)的位移是( )
A.2.0 m
B.1.0 m
C.3.0 m
D.4.0 m
【答案】A
【解析】由圖知x=2.0 m時,F(xiàn)合=0,此前F合做正功而此后F合做負功,故x=2.0 m時動能最大。
6.有一種太陽能驅(qū)動的小車,當太陽光照射到小車上方的光電板時,光電板中產(chǎn)生的電流經(jīng)電動機帶動小車前進.若質(zhì)量為m的小車在平直的水泥路上從靜止開始沿直線加速行駛,經(jīng)過時間t前進的距離為x,且速度達到最大值vm.設(shè)這一過程中電動機的功率恒為P,小車所受阻力恒為f,那么這段時間內(nèi)( )
A.小車做勻加速運動
B.小車受到的牽引力逐漸增大
C.小車受到的合外力所做的功為Pt
D.小車受到的牽引力做的功為fx+mv
【答案】D
【解析】小車在運動方向上受牽引力F和阻力f,因為v增大,P不變,由P=Fv,F(xiàn)-f=ma,得出F逐漸減小,a也逐漸減小,當v=vm時,a=0,故A、B均錯;合外力做的功W外=Pt-fx,由動能定理得Pt-fx=mv,故C錯誤,D正確.
方法3分析、處理動力機車兩種啟動模型的方法
詮釋:兩種啟動方式比較
兩種方式
以恒定功率啟動
以恒定加速度啟動
P-t圖
和v-t圖
OA
段
過程分析
v↑?F=↓
?a=↓
a=不變
?F不變P=Fv↑
直到P額=Fv1
運動性質(zhì)
加速度減小的加速直線運動
勻加速直線運動,維持時間t0=
AB
段
過程分析
F=F阻?a=0
?F阻=
v↑?F=↓
?a=↓
運動性質(zhì)
以vm做勻速直線運動
加速度減
小的加速運動
BC段
無
F=F阻?a=0
?以vm=做勻速直線運動
2.三個重要關(guān)系式
(1)無論哪種啟動過程,機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度,即vm==(式中Fmin為最小牽引力,其值等于阻力F阻).
(2)機車以恒定加速度啟動的運動過程中,勻加速過程結(jié)束時,功率最大,速度不是最大,即v=v1的情況,故不作分析.在t1時刻,發(fā)動機的功率突然由P1增大到P2,而瞬時速度未來得及變化,則由P=Fv知牽引力突然增大,則汽車立即開始做加速運動有:-f=ma2,同樣,a2隨v的增大而減小,直到a2=0時開始勻速運動,故A正確、C錯誤.
4.一輛小汽車在水平路面上由靜止啟動,在前5 s內(nèi)做勻加速直線運動,5 s末達到額定功率,之后保持額定功率運動,其v-t圖像如圖所示,已知汽車的質(zhì)量為m=2103 kg,汽車受到地面的阻力為車重的0.1倍,g取10 m/s2,則( )
A.汽車在前5 s內(nèi)的牽引力為4103 N
B.汽車在前5 s內(nèi)的牽引力為6103 N
C.汽車的額定功率為60 kW
D.汽車的最大速度為30 m/s
【答案】BCD
5.水平面上一質(zhì)量為m的物體,在水平力F作用下開始加速運動,如圖甲所示,力F的功率P保持恒定,運動過程所受的阻力f大小不變,物體速度最終達到穩(wěn)定值vm,F(xiàn)作用過程中物體的速度v的倒數(shù)與加速度a的關(guān)系圖象如圖乙所示,僅在已知功率P的情況下,根據(jù)圖象所給的信息( )
A.可求出m、f、vm B.不能求出m
C.不能求出f D.可求出加速運動時間
【答案】A
【解析】.當加速度為零時,物體做勻速運動,此時牽引力等于阻力,速度為最大值;由功率的計算公式可得P=Fv,而F-f=ma,聯(lián)立可得=a+,由題圖乙可得圖線的斜率為,縱截距為=,因此可求出m、f和vm,選項A正確,B、C錯誤;物體做變加速運動,加速運動的時間不可求,選項D錯誤.
6.質(zhì)量為1.0103 kg的汽車,沿傾角為30的斜坡由靜止開始運動,汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2 000 N,汽車發(fā)動機的額定輸出功率為5.6104 W,開始時以a=1 m/s2的加速度做勻加速運動(g取10 m/s2).求:
(1)汽車做勻加速運動的時間t1;
(2)汽車所能達到的最大速率;
(3)若斜坡長143.5 m,且認為汽車到達坡頂之前,已達到最大速率,則汽車從坡底到坡頂需多長時間?
【答案】 (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
【解析】 (1)由牛頓第二定律得
F-mgsin 30-Ff=ma
設(shè)勻加速過程的末速度為v,則有P=Fv
v=at1
解得t1=7 s.
(2)當達到最大速度vm時,a=0,則有
P=(mgsin 30+Ff)vm.
解得vm=8 m/s.
(3)汽車勻加速運動的位移x1=at,在后一階段對汽車由動能定理得
Pt2-(mgsin 30+Ff)x2=mv-mv2
又有x=x1+x2
解得t2=15 s
故汽車運動的總時間為t=t1+t2=22 s.
7.某汽車集團公司研制了一輛燃油與電動混合動力賽車,燃油發(fā)動機單獨工作時的額定功率為P,蓄電池供電的電力發(fā)動機單獨工作時的額定功率為,已知賽車運動過程中受到的阻力恒定.
(1)若燃油發(fā)動機單獨工作時的最大速度為120 km/h,則兩臺發(fā)動機同時工作時的最大速度為多少?
(2)若賽車先單獨啟動電力發(fā)動機從靜止開始做勻加速直線運動,經(jīng)過t1時間達到額定功率,然后以燃油發(fā)動機的額定功率單獨啟動繼續(xù)加速,又經(jīng)過t2時間達到最大速度v0,賽車總質(zhì)量為m,求賽車的整個加速距離.
(2)燃油發(fā)動機的額定功率為P,最大速度為v0,
阻力f=
勻加速過程功率隨時間均勻增加,發(fā)動機的平均功率為,設(shè)總路程為s,由動能定理有
t1+Pt2-fs=mv
解得s=.
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