2020高考數(shù)學刷題首選卷 單元質(zhì)量測試(五)不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 理(含解析).docx
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單元質(zhì)量測試(五) 時間:120分鐘 滿分:150分 第Ⅰ卷 (選擇題,共60分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2018南昌摸底)已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2,i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z的虛部為( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案 B 解析 因為z====1-i,則復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故選B. 2.(2018太原三模)已知復(fù)數(shù)z滿足iz=,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 z=====-1-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限,故選C. 3.(2018大慶質(zhì)檢一)若m>n>0,pB.< C.> D.< 答案 B 解析 由m>n>0,p|n|>0,|p|>|q|>0,所以<,而,,,均為負數(shù),所以>.而與的大小則無法比較,故選B. 4.(2019青島模擬)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,且z+(1+i)=3-4i,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),故z+(1+i)=a+bi+(a-bi)(1+i)=(2a+b)+ai=3-4i,則a=-4,b=11,故z=-4+11i,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為(-4,11),位于第二象限.故選B. 5.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 答案 D 解析 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),因此當f(x)是偶函數(shù)時,其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 6.(2017浙江高考)若x,y滿足約束條件 則z=x+2y的取值范圍是( ) A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 答案 D 解析 不等式組形成的可行域如圖所示.平移直線y=-x,當直線過點A(2,1)時,z有最小值4.顯然z沒有最大值.故選D. 7.(2018長春質(zhì)檢)設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則( ) A.+有最大值4 B.有最小值 C.+有最大值 D.a(chǎn)2+b2有最小值 答案 C 解析 由于a>0,b>0,由基本不等式得1=a+b≥2,當且僅當a=b時,等號成立,∴≤,∴ab≤,+==≥4,因此+的最小值為4,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-=,(+)2=a+b+2=1+2≤1+1=2,所以+有最大值.故選C. 8.(2018福建質(zhì)檢)程大位是明代著名數(shù)學家,他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風行宇內(nèi),成為明清之際研習數(shù)學者必讀的教材,而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū),對推動漢字文化圈的數(shù)學發(fā)展起到了重要的作用.卷八中第33問是:“今有三角果一垛,底闊每面七個.問該若干?”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數(shù)S為( ) A.120 B.84 C.56 D.28 答案 B 解析 第一次循環(huán),i=0+1=1,n=0+1=1,S=0+1=1;i<7,第二次循環(huán),i=1+1=2,n=1+2=3,S=1+3=4;i<7,第三次循環(huán),i=2+1=3,n=3+3=6,S=4+6=10;i<7,第四次循環(huán),i=3+1=4,n=6+4=10,S=10+10=20;i<7,第五次循環(huán),i=4+1=5,n=10+5=15,S=20+15=35;i<7,第六次循環(huán),i=5+1=6,n=15+6=21,S=35+21=56;i<7,第七次循環(huán),i=6+1=7,n=21+7=28,S=56+28=84;i=7,結(jié)束循環(huán),輸出S=84.故選B. 9.(2018湖北武漢調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下,甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說:“我沒有作案,是丙偷的”;丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說:“乙說的是事實”.經(jīng)過調(diào)查核實,四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 B 解析 由題可知,乙、丁兩人的觀點一致,即同真同假,假設(shè)乙、丁說的是真話,那么甲、丙兩人說的是假話,由乙說的是真話,推出丙是罪犯,由甲說假話,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,顯然兩個結(jié)論相互矛盾,所以乙、丁兩人說的是假話,而甲、丙兩人說的是真話,由甲、丙供述可得,乙是罪犯. 10.(2018山東濱州模擬)已知變量x,y滿足約束條件若z=ax+by(a>0,b>0)的最小值為2,則ab的最大值為( ) A.1 B. C. D. 答案 D 解析 作出不等式組滿足的可行域如圖所示,目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0),故當x,y均取最小值時,z取到最小值.即當x=2,y=3時,z=ax+by取得最小值2,即2a+3b=2,所以2a3b≤=1,當且僅當2a=3b=1,即a=,b=時等號成立,所以(6ab)max=1,即(ab)max=. 11.(2018河南鄭州三模)中國有個名句“運籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代是用算籌來進行計算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如下表: 表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬位用橫式表示,以此類推,例如6613用算籌表示就是:,則5288用算籌式可表示為( ) 答案 C 解析 由題意可知,5288用算籌式表示,從左到右依次是橫式5,縱式2,橫式8,縱式8.故選C. 12.(2019邯鄲調(diào)研)若正數(shù)a,b滿足+=1,則+的最小值為( ) A.16 B.25 C.36 D.49 答案 A 解析 因為a,b>0,+=1,所以a+b=ab,所以+===4b+16a-20.又4b+16a=4(b+4a)=4(b+4a)=20+4≥20+42 =36,當且僅當=且+=1,即a=,b=3時取等號.所以+≥36-20=16. 第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分) 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.(2017天津高考)已知a∈R,i為虛數(shù)單位,若為實數(shù),則a的值為________. 答案?。? 解析 因為==為實數(shù),所以-=0,解得a=-2. 14.(2018長春質(zhì)檢二)更相減損術(shù)是出自《九章算術(shù)》的一種算法,如圖所示的程序框圖是依據(jù)更相減損術(shù)寫出來的,若輸入a=91,b=39,則輸出a的值為________. 答案 13 解析 第一次循環(huán)得:a=91-39=52;第二次循環(huán)得:a=52-39=13;第三次循環(huán)得:b=39-13=26;第四次循環(huán)得:b=26-13=13,此時a=b,所以輸出13. 15.(2018大慶質(zhì)檢一)若f(x)=exln a+e-xln b為奇函數(shù),則+的最小值為________. 答案 2 解析 由f(x)的定義域為R,且f(x)為奇函數(shù),則有f(0)=ln a+ln b=0,即ab=1.從而+≥2=2,當且僅當=,即a=,b=時,取等號. 16.(2018豫南九校聯(lián)考)已知不等式組表示的平面區(qū)域為D,若對任意的(x,y)∈D,不等式t-40,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1. ∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0. ∴(3+1)(-1)≥0. ∴≥1,∴xy≥1.當且僅當x=y(tǒng)=1時,等號成立. ∴xy的最小值為1. (2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤32. ∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0. ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.∴x+y≥2. 當且僅當x=y(tǒng)=1時取等號,∴x+y的最小值為2. 19.(本小題滿分12分)關(guān)于x的不等式組 的整數(shù)解的集合為{-2},求實數(shù)k的取值范圍. 解 不等式x2-x-2>0的解集是(-∞,-1)∪(2,+∞). 不等式2x2+(2k+5)x+5k<0, 即為(2x+5)(x+k)<0,(*) 當-k<-,即k>時,(*)的解集是-k,-,此時-2不在不等式組的解集中,所以k>不符合題意; 當-k=-,即k=時,(*)無解,也不符合題意; 當-k>-,即k<時,(*)的解集是-,-k. 要使不等式組的整數(shù)解的集合為{-2}, 借助數(shù)軸可得-2<-k≤3,解得-3≤k<2, 又k<,所以-3≤k<2. 綜上,實數(shù)k的取值范圍是[-3,2). 20.(本小題滿分12分)先閱讀下列不等式的證法,再解決后面的問題: 已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求證:a+a≥. 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2, 則f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a, 因為對一切x∈R,恒有f(x)≥0, 所以Δ=4-8(a+a)≤0,從而得a+a≥. (1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,請寫出上述結(jié)論的推廣式; (2)參考上述證法,對你推廣的結(jié)論加以證明. 解 (1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1, 則a+a+…+a≥. (2)證明:構(gòu)造函數(shù) f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2, 則f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a+a+…+a=nx2-2x+a+a+…+a, 因為對一切x∈R,恒有f(x)≥0, 所以Δ=4-4n(a+a+…+a)≤0, 從而得a+a+…+a≥. 21.(本小題滿分12分)首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開,本屆大會以“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=x2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元. (1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低? (2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損? 解 (1)由題意可知,二氧化碳的每噸平均處理成本為 =x+-200≥2-200 =200(400≤x≤600),當且僅當x=, 即x=400時等號成立. 故該單位每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為200元. (2)不獲利.設(shè)該單位每月獲利為S,則 S=100x-y =100x- =-x2+300x-80000 =-(x-300)2-35000. ∵400≤x≤600, ∴Smax=-(400-300)2-35000=-40000. 故該單位每月不獲利,需要國家每月至少補貼40000元才能不虧損. 22.(2018江蘇高考)(本小題滿分12分)設(shè){an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項為b1,公比為q的等比數(shù)列. (1)設(shè)a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立,求d的取值范圍; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],證明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1對n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范圍(用b1,m,q表示). 解 (1)由條件知an=(n-1)d,bn=2n-1. 因為|an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1對n=1,2,3,4均成立. 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9, 得≤d≤. 因此,d的取值范圍為,. (2)由條件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1). 即當n=2,3,…,m+1時, d滿足b1≤d≤b1. 因為q∈(1,], 所以1 0, 對n=2,3,…,m+1均成立. 因此,取d=0時,|an-bn|≤b1對n=2,3,…,m+1均成立. 下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值(n=2,3,…,m+1). ①當2≤n≤m時,- = =, 當1 0. 因此,當2≤n≤m+1時,數(shù)列單調(diào)遞增, 故數(shù)列的最大值為. ②設(shè)f(x)=2x(1-x),當x>0時,f′(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0. 所以f(x)單調(diào)遞減,從而f(x) 下載提示(請認真閱讀)
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