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第七章 平面解析幾何
考點(diǎn)測(cè)試45 直線的方程
高考概覽
考綱研讀
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式
2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直
3.掌握確定直線位置的幾何要素
4.掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系
一、基礎(chǔ)小題
1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則參數(shù)m滿足的條件是( )
A.m≠- B.m≠0
C.m≠0且m≠1 D.m≠1
答案 D
解析 由解得m=1,故m≠1時(shí)方程表示一條直線.
2.直線xsin+ycos=0的傾斜角α是( )
A.- B. C. D.
答案 D
解析 ∵tanα=-=-tan=tan,α∈[0,π),∴α=.
3.過點(diǎn)(-1,2)且傾斜角為30的直線方程為( )
A.x-3y+6+=0 B.x-3y-6+=0
C.x+3y+6+=0 D.x+3y-6+=0
答案 A
解析 ∵k=tan30=,∴直線方程為y-2=(x+1).即x-3y+6+=0.故選A.
4.已知直線l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,則k的值為( )
A.1或3 B.1或5 C.1或4 D.1或2
答案 C
解析 由題意可得,(k-3)2(k-3)+(5-k)(-2)=0,整理得k2-5k+4=0,解得k=1或k=4.故選C.
5.如圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則( )
A.k1
α3,所以00,在y軸上的截距->0,故直線經(jīng)過一、二、四象限,不經(jīng)過第三象限.故選C.
7.在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與直線x+y-=0關(guān)于x軸對(duì)稱,則直線l的傾斜角為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 直線的斜截式方程為y=-x+,即直線的斜率k=tanα=-,即α=,所以直線l的傾斜角為,故選B.
8.在下列四個(gè)命題中,正確的有( )
①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率;
②直線的傾斜角的取值范圍為[0,180];
③若一直線的斜率為tanα,則此直線的傾斜角為α;
④若一直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tanα.
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
答案 A
解析 當(dāng)傾斜角α=90時(shí),其斜率不存在,故①④不正確;直線的傾斜角α的取值范圍為[0,180),故②不正確;直線的斜率k=tan210這是可以的,此時(shí)傾斜角α=30而不是210,故③不正確.故選A.
9.直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是( )
A.0, B.,π
C.0,∪,π D.,∪,π
答案 B
解析 ∵直線的斜率k=-,∴-1≤k<0,則傾斜角的取值范圍是,π.
10.直線2x-my+1-3m=0,當(dāng)m變動(dòng)時(shí),所有直線都通過定點(diǎn)( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵當(dāng)m變動(dòng)時(shí),(2x+1)-m(y+3)=0恒成立,∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-,y=-3,定點(diǎn)為.故選D.
11.設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(3,2),若直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.∪
B.
C.
D.∪
答案 B
解析 直線ax+y+2=0恒過點(diǎn)M(0,-2),且斜率為-a,∵kMA==-,kMB==,
畫圖可知-a>-且-a<,∴a∈.
12.已知直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則實(shí)數(shù)a=________.
答案 1或-2
解析 顯然a=0不符合題意,當(dāng)a≠0時(shí),令x=0,則直線l在y軸上的截距為2+a;令y=0,得直線l在x軸上的截距為1+.依題意2+a=1+,解得a=1或a=-2.
二、高考小題
13.(2013四川高考)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),到點(diǎn)A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________.
答案 (2,4)
解析 由已知得kAC==2,kBD==-1,所以直線AC的方程為y-2=2(x-1),
即2x-y=0,①
直線BD的方程為y-5=-(x-1),即x+y-6=0,②
聯(lián)立①②解得
所以直線AC與直線BD的交點(diǎn)為P(2,4),此點(diǎn)即為所求點(diǎn).
因?yàn)閨PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|,
取異于P點(diǎn)的任一點(diǎn)P′.
則|P′A|+|P′B|+|P′C|+|P′D|
=(|P′A|+|P′C|)+(|P′B|+|P′D|)
>|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|.
故P點(diǎn)就是到點(diǎn)A,B,C,D的距離之和最小的點(diǎn).故應(yīng)填(2,4).
14.(2014四川高考)設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PA||PB|的最大值是________.
答案 5
解析 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA||PB|≤=5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=時(shí)取“=”).
三、模擬小題
15.(2018重慶一診)若過點(diǎn)P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案 A
解析 ∵過點(diǎn)P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,∴直線的斜率小于0,即<0,即<0,解得-20,cosθ<0,
∴sinθ-cosθ=,?、?
由①②解得∴tanθ=-2,即l的斜率為-2,故選D.
21.(2018江蘇調(diào)研)已知經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為________.
答案 2x-3y=0或x+y-5=0
解析 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0,即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2),
∴l(xiāng)的方程為y=x,即2x-3y=0.
若a≠0,則設(shè)l的方程為+=1,
∵l過點(diǎn)(3,2),∴+=1,∴a=5,
∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0,
綜上可知,直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.
22.(2019滄州月考)已知直線y=x+k與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 令y=0,則x=-2k.令x=0,則y=k.故直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=|k||-2k|=k2.由題意知,三角形的面積不小于1,可得k2≥1,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥1或k≤-1.
一、高考大題
本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型.
二、模擬大題
1.(2018山西長(zhǎng)治月考)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上,BC邊的中點(diǎn)N在x軸上,求:
(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)直線MN的方程.
解 (1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則有
=0,=0.
∴x=-5,y=-3,
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-5,-3).
(2)由題意知,M,N(1,0),
∴直線MN的方程為x-=1,
即5x-2y-5=0.
2.(2018四川達(dá)州月考)直線l過點(diǎn)P(1,4),分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A,B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)|PA||PB|最小時(shí),求l的方程;
(2)當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí),求l的方程.
解 依題意,l的斜率存在,且斜率為負(fù).
設(shè)l:y-4=k(x-1)(k<0).
令y=0,可得A;
令x=0,可得B(0,4-k).
(1)|PA||PB|=
=-(1+k2)=-4≥8.(注意k<0)
∴當(dāng)且僅當(dāng)=k且k<0,
即k=-1時(shí),|PA||PB|取最小值.
這時(shí)l的方程為x+y-5=0.
(2)|OA|+|OB|=+(4-k)=5-≥9.
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=且k<0,即k=-2時(shí),|OA|+|OB|取最小值.這時(shí)l的方程為2x+y-6=0.
3.(2018福建華安月考)設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).
(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程;
(2)若a>-1,直線l與x,y軸分別交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OMN面積取最小值時(shí)直線l的方程.
解 (1)當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,此時(shí)a+2=0,解得a=-2,此時(shí)直線l的方程為-x+y=0,即x-y=0;當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),即a≠-2且a≠-1時(shí),由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0.
所以直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0.
(2)由直線方程可得M,N(0,2+a),
因?yàn)閍>-1,
所以S△OMN=(2+a)
==
≥=2,
當(dāng)且僅當(dāng)a+1=,即a=0時(shí)等號(hào)成立.
此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0.
4.(2018福建漳州月考)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn).光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,求AP的長(zhǎng)?
解 以AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,
由題意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方程為x+y-4=0,
設(shè)P(t,0)(0
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