（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學 母題題源系列 專題19 圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 理.doc

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母題十九 圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 【母題原題1】【2018天津，理19】 設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且． （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q． 若(O為原點)，求k的值． 【考點分析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．滿分14分． 【答案】（I）；（II）或． 試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由已知有， 又由，可得．由已知可得，，， 由，可得，從而，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點的坐標為，點的坐標為． 易知直線的方程為，由方程組消去，可得． 由，可得，兩邊平方，整理得， 解得，或，的值為或 【名師點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意： （1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件； （2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題． 【母題原題2】【2017天津，理19】 設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為．已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為． （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點．若的面積為，求直線的方程． 【答案】（1），；（2），或． 【解析】試題分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點坐標，寫出 所在直線方程，求出點的坐標，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程． 或．由點異于點，可得點．由，可得直線的方程為，令，解得，故．∴．又∵的面積為，故，整理得，解得，∴．∴直線的方程為，或． 解法二：設(shè)則從而直線的方程為，代入橢圓方程，整理得．兩根之積為 代入，得．∴直線的方程為：，即．令，得，解得． 解得直線的方程為或，即，或． 【考點】直線與橢圓綜合問題 【名師點睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點的坐標，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標化，方程化，代數(shù)化是解題的關(guān)鍵． 【母題原題3】【2016天津，理19】 設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點，為橢圓的離心率． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點．若，且，求直線的斜率的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓標準方程，只需確定量，由，得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為． （Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為．設(shè)，由方程組，消去，整理得．解得，或，由題消去，解得．在中，，即，化簡得，即，解得或．所以直線的斜率的取值范圍為． 考點：橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【名師點睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 【母題原題4】【2015天津，理19】 已知橢圓的左焦點為，離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓截得的線段的長為c，． （I）求直線FM的斜率； （II）求橢圓的方程； （III）設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍． 【答案】（I） ； （II） ；(III) ． 【解析】 試題分析：（I） 由橢圓知識先求出的關(guān)系，設(shè)直線直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值； （II）由（I）設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，由可求出，從而可求橢圓方程．(III)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍． 試題解析：（I） 由已知有，又由，可得，， 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有 ，解得． （II）由（I）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得． ①當時，有，因此，于是，得 ②當時，有，因此，于是，得 綜上，直線的斜率的取值范圍是． 【命題意圖】本類題通常主要考查對橢圓的離心率、橢圓的幾何性質(zhì)、雙曲線的離心率、雙曲線的幾何性質(zhì)、雙曲線的漸近線、拋物線的幾何性質(zhì)等基本知識的理解，以及對直線與圓錐曲線間的交點問題（含切線問題）、與圓錐曲線定義有關(guān)的問題、與曲線有關(guān)的最值問題（含三角形和四邊形面積）等知識的理解與簡單的應(yīng)用． 【命題規(guī)律】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題與填空題的形式出現(xiàn)，也會出現(xiàn)在解答題中第一問，難度一般中等，有時中等偏上，一般不會作為把關(guān)題，在考查內(nèi)容上一般以求離心率，求雙曲線的漸近線，求最值，求范圍，利用性質(zhì)求曲線方程等，著重考查對基本概念和基本性質(zhì)的理解與應(yīng)用，題型穩(wěn)定，中規(guī)中矩，不偏不怪，內(nèi)容及位置也很穩(wěn)定，計算量比過去減少，但思考量增大，思維層次的要求并沒有降低．若再按以前的“解幾套路”解題顯然難以成功． 【答題模板】以2017年高考題為例，求取橢圓或雙曲線離心率，一般可由下面三個方面著手： （1）根據(jù)已知條件確定的等量關(guān)系，然后把用代換，求的值； （2）已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍． （3）求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個關(guān)于的不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到關(guān)于的不等式，由這個不等式確定的關(guān)系． 總體來說，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關(guān)參數(shù)． 【方法總結(jié)】 1．圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)．因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求，拋物線的定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線l(拋物線的準線)；一個定值1(點M與定點F的距離和它到定直線l的距離之比等于1)，常常利用拋物線的定義將拋物線上一點到焦點的焦半徑問題與焦點到準線的距離問題互相轉(zhuǎn)化． 2．求圓錐曲線標準方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，若頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設(shè)為或 ()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義．若橢圓的焦點位置不確定，橢圓的標準方程可設(shè)為，也可設(shè)橢圓方程為，若雙曲線的焦點位置不確定，雙曲線的標準方程可設(shè)為，也可設(shè)雙曲線的方程為，其中異號且都不為0，若已知雙曲線的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的標準方程為（）可避免分類討論，這樣可以避免討論和繁瑣的計算． 3．求解與二次曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖像進行分析，即使不畫圖形，思考時也要聯(lián)想到圖像．對橢圓當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．對雙曲線應(yīng)圍繞雙曲線中的“六點”（兩個頂點、兩個焦點、虛軸的兩個端點），“四線”（兩條對稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點、虛軸端點構(gòu)成的特征三角形，雙曲線上一點與兩個交點構(gòu)成的三角形），研究它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系． 4．橢圓取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是橢圓上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用，橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離的取值范圍為[]．在橢圓中，如果一個三角形的兩個頂點是焦點，另一個頂點在橢圓上，稱該三角形為焦點三角形，則三角形的周長為定值等于，面積等于，其中是短半軸的長；過焦點垂直于對稱軸的弦長即通徑長為．雙曲線取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是雙曲線上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用，雙曲線上一點到雙曲線一個焦點的距離的取值范圍為[)．在雙曲線中，如果一個三角形的兩個頂點是焦點，另一個頂點在雙曲線上，稱該三角形為焦點三角形，則面積等于，其中是虛半軸的長；過焦點垂直于對稱軸的弦長即通徑長為．拋物線中：拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：　 ．焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式．設(shè)過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點F的弦為AB，A，B，AB的傾斜角為，則有或，以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求．在拋物線中，以拋物線的焦點弦為直徑的圓與該拋物的對應(yīng)準線相切． 5．求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定的等量關(guān)系，然后把用代換，求的值；橢圓求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍．離心率與的關(guān)系為：=．雙曲線求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍．離心率與的關(guān)系為：=，在雙曲線中由于，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)．求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個關(guān)于的不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到關(guān)于的不等式，由這個不等式確定的關(guān)系．求解圓錐曲線的離心率，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關(guān)參數(shù)． 6．拋物線（）上點的坐標可設(shè)為（），在計算時，可以降低計算量． 7． 焦點三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點三角形，就是以橢圓或雙曲線的焦點為頂點，另一個頂點在橢圓或雙曲線上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個方面的知識： ①橢圓或雙曲線的定義； ②勾股定理或余弦定理； ③基本不等式與三角形的面積公式． 1．【2018天津部分區(qū)二?！恳阎獟佄锞€的焦點與橢圓：的一個頂點重合，且這個頂點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形面積為． （1）求橢圓的方程； （2）若橢圓的上頂點為，過作斜率為的直線交橢圓于另一點，線段的中點為，為坐標原點，連接并延長交橢圓于點，的面積為，求的值． 【答案】(1)；(2)． 又橢圓的頂點與其兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，∴， ∴，故橢圓的方程是． （2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)點， 由得，解得， ∴，∴ 直線斜率，直線的方程為， ∴的值為． 【名師點睛】本題考查橢圓方程、橢圓性質(zhì)、直線方程、理、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題． 2．【2018天津河東區(qū)二?！恳阎獧E圓的一個焦點為，且離心率為． (1)求橢圓方程； (2)斜率為k的直線l過點F，且與橢圓交于A，B兩點，P為直線x=3上的一點， 若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程． 【答案】(1) ． (2) 或． 【解析】分析：（1）列方程組求出a和b即得橢圓的方程．(2) 設(shè)直線的方程為，根據(jù)△ABP為等邊三角形求出k的值，即得直線的方程． 詳解：（1）由已知 ，，可得，，所以橢圓的方程為． （2）設(shè)直線的方程為，直線與橢圓交點坐標為，， 整理為，所以所以． 【名師點睛】（1）本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力、分析推理能力和計算能力．(2)解答本題的關(guān)鍵是求k，本題是根據(jù)等邊三角形得到找到k的方程的，當然先要求出|AB|和|MP|．計算量比較大． 3．【2018天津河北區(qū)二模】設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足為線段的中點，且AB⊥． （I）求橢圓C的離心率； （II）若過A、B、三點的圓與直線：相切，求橢圓C的方程； （III）在（I）的條件下，過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由題意可得過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r= =2c，根據(jù)直線與圓相切可得，解得c=1，從而，，可得橢圓的方程．（Ⅲ）由條件可設(shè)直線MN的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點Q的坐標為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，由此得到，整理得，最后可求得． （III）由（I）知，F(xiàn)2(1，0)，直線MN的方程為， 由 消去y整理得 ∵直線與橢圓C交于M，N兩點，∴． 設(shè)M(，)，N(，)，則， ∴， ∴MN的中點Q的坐標為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則， ∴整理得，∵，∴，∴． ∴．故存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是(． 【名師點睛】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點或參數(shù))存在，并用待定系數(shù)法設(shè)出，根據(jù)題意列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（方程組），若方程（組）有實數(shù)解，則元素(點或參數(shù))存在；否則元素(點或參數(shù))不存在． （2）解析幾何中求范圍或最值時，首先建立關(guān)于某一參數(shù)為為變量的目標函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征求出范圍或最值． 4．【2018天津十二校二模】已知橢圓的兩個焦點分別為和，過點的直線與橢圓交于軸上方的，兩點，且． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）（ⅰ）求直線的斜率； （ⅱ）設(shè)點與點關(guān)于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值． 【答案】（I） 離心率；（II）． 當時，得，由已知得，求出外接圓方程與直線的方程，聯(lián)立可得結(jié)果． 詳解：（I）由得，從而，整理，得，故離心率． （II）解法一：（I）由（I）得，所以橢圓的方程可寫 設(shè)直線AB的方程為，即． 由已知設(shè)，則它們的坐標滿足方程組 消去y整理，得． 依題意， 而 ① ②w 由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以 ③ （II）由（I）可知 當時，得，由已知得． 線段的垂直平分線l的方程為 直線l與x軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為． 直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組 ， 由解得故 【名師點睛】本題主要考查橢圓與直線的位置關(guān)系以及橢圓離心率，屬于難題．離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解． 5．【2018天津9校聯(lián)考】已知過點的橢圓的左右焦點分別為、，為橢圓上的任意一點，且，，成等差數(shù)列． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）直線交橢圓于，兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（I）． (2)或． 由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x2、y2，由點A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范圍． 試題解析： （1）∵，，成等差數(shù)列， ∴， 由橢圓定義得，∴； 又橢圓：（）過點， ∴；∴，解得，； 可得；③ 由①②③，解得，； 由點在以為直徑的圓外，得為銳角，即； 由，， ∴；即， 整理得，，解得：或． ∴實數(shù)的取值范圍是或． 【名師點睛】在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時，常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 6．【2018天津濱海新區(qū)七校聯(lián)考】已知，橢圓的離心率，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】試題分析：（1）由離心率與斜率可求得a，b，c．（II）設(shè)，與橢圓組方程組，由弦長 ， ， 設(shè)，， ， 又點到直線的距離， ∴△OPQ的面積， 設(shè)，則，∴， 【名師點睛】弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或． 7．【2018天津十二校聯(lián)考一】如圖，已知橢圓的左右頂點分別是，離心率為，設(shè)點，連接交橢圓于點，坐標原點是． （1）證明： ； （2）設(shè)三角形的面積為，四邊形的面積為，若 的最小值為1，求橢圓的標準方程． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程即可求出點的坐標，從而可得直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率，即可證明；（2）由（1）知，，根據(jù)的最小值為1，即可求出的值，從而求出橢圓的標準方程． 試題解析：（1）由 得，，∴，即．∴橢圓的方程為，由，整理得： ，由 可得 ∴橢圓方程為． 8．【2018天津靜海一中模擬】設(shè)橢圓C： 的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，過橢圓右焦點的直線l與橢圓C交于兩點． （I）求橢圓C的方程； (2)若，求直線l的方程； (3)若是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，，求證： 為定值． 【答案】（I） ；（II）y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)；(3)見解析． 【解析】試題分析：（1）由題意，橢圓的標準方程為＋＝1；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韋達定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韋達定理計算，得到答案． 試題解析： （I）橢圓的頂點為(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴橢圓的標準方程為＋＝1． (2)由題可知，直線l與橢圓必相交． ①當直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意． 由(2)可得|MN|＝|x1－x2|＝ ＝＝， 由消去y并整理得x2＝，|AB|＝|x3－x4|＝4， ∴＝＝4，為定值． 9．【2018天津一中月考五】已知橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，直線與橢圓交于，兩點，與軸、軸分別相交于點和點，且，點是點關(guān)于軸的對稱點，的延長線交橢圓于點，過點、分別做軸的垂線，垂足分別為、． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線，使得點平分線段，？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． 【答案】（I）；(2)答案見解析． 【解析】試題分析： （I）由正三角形的高與邊長的關(guān)系可求出，再由點 在橢圓上，可求出 的值，從而求出橢圓方程； (2)假設(shè)存在，由直線方程可求出 點的坐標，由已知條件可求出 點的坐標，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去，得到關(guān)于 的一元二次方程， 所以橢圓方程為． （2）存在 設(shè)，∵ ∴ ∴① ∴， 聯(lián)立 ∴② ∴ ∴ 【名師點睛】本題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．第一問求橢圓方程很容易，大部分學生能做對； 在第二問中，假設(shè)存在，當點平分線段點為的中點，利用中點坐標公式，求出的值，得出直線方程．注意本題涉及的點線位置關(guān)系比較復雜，容易弄錯． 10．【2018天津靜海一中期末考】設(shè)橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為A，過點A與垂直的直線交軸負半軸于點，且，若過，，三點的圓恰好與直線相切．過定點的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若實數(shù)滿足，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）． 【解析】試題分析：（1）由題意，得橢圓方程為．；（2）設(shè)直線方程為，，所以，利用韋達定理，就出的取值范圍． （Ⅱ）①當直線斜率存在時， 設(shè)直線方程為，代入橢圓方程 得． 由，得．設(shè)，， 則，． 又，所以．所以． 所以，． 所以．所以． 整理得．因為，所以，即．所以． 所以，即所求的取值范圍是 【名師點睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系．圓錐曲線問題關(guān)鍵是分析解題思路，邏輯思維要清晰．本題中要求線段長的比值，轉(zhuǎn)化為橫坐標的比值關(guān)系，則需要韋達定理，所以通過設(shè)直線，得到整個題目的思路． 11．【2018天津靜海一中模擬】設(shè)橢圓C： ，定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為，若拋物線的焦點與橢圓C的一個焦點重合，且橢圓C短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形． （I）求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程； （II）過“相關(guān)圓”E上任意一點P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點． （i）證明∠AOB為定值； （ii）連接PO并延長交“相關(guān)圓”E于點Q，求△ABQ面積的取值范圍． 【答案】（I） （II）（i）見解析（ii） 【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓C短軸的一個端點和兩個焦點構(gòu)成直角三角形，得到 由此能求出橢圓的方程． 進而求出“相關(guān)圓”的方程． （Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線方程為 ；當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，得 由此利用根的判別式、韋達定理、直線與圓相切，結(jié)合已知條件推導出為定值． （ii）要求的面積的取值范圍，只需求弦長的范圍，由此利用橢圓弦長公式能求出面積的取值范圍． 當直線的斜率存在時，設(shè)其方程設(shè)為，設(shè) 聯(lián)立方程組得，即， △=，即 因為直線與相關(guān)圓相切，所以 為定值 （ii）由于是“相關(guān)圓”的直徑，所以，所以要求面積的取值范圍， 所以，所以 當且僅當時取”=” ②當時，．|AB |的取值范圍為 面積的取值范圍是． 【點睛】本題考查橢圓及圓的方程的求法，考查角為定值及三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線與圓相切、橢圓弦長公式的合理運用． 12．【2018天津一中期末考試】已知點分別是橢圓的左右頂點，為其右焦點，與的等比中項是，橢圓的離心率為． （I）求橢圓的方程； (2)設(shè)不過原點的直線與該軌跡交于兩點，若直線的斜率依次成等比數(shù)列，求的面積的取值范圍． 【答案】（I） ；（II）． 表示出三角形面積，求解范圍即可． 試題解析：（I） ，，是與的等比中項，∴， ∴，又，解得，∴橢圓的方程為． (2)由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線，，，聯(lián)立直線和橢圓，消去得，， 由題意可知，，即， 且，， 又直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，所以， 將，代入并整理得，因為，，，且， 設(shè)為點到直線的距離，則有，， ∴，∴三角形面積的取值范圍為． 13．【2018天津和平區(qū)期末考】已知橢圓的方程為 （ ）的離心率為，圓的方程為，若橢圓與圓 相交于， 兩點，且線段 恰好為圓 的直徑． （1）求直線 的方程； （2）求橢圓 的標準方程． 【答案】（1） ；（2）． 弦長公式列方程可得，從而得，進而可得橢圓 的標準方程． 試題解析：（1）由 得， ∴，即，∴橢圓 的方程為， 設(shè)，，∵線段 恰好為圓 的直徑， ∴線段 的中點恰好為圓心，于是有，， 由于，，兩式相減，并整理得， 有，∴ ∴直線 的方程為，即． （2）解：由（1）知，代入并整理得， ， ∵橢圓 與圓 相交于， 兩點， ∴，解得， 于是， ∴所求橢圓 的標準方程． 【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和“點差法”的應(yīng)用，屬于難題．用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求． 14．【2018天津紅橋區(qū)期末考】已知橢圓的一個頂點坐標為，若該橢圓的離心等于， （I)求橢圓的方程； （II）點是橢圓上位于軸下方一點，分別是橢圓的左、右焦點，直線的傾斜角為，求的面積． 【答案】(Ⅰ) 橢圓方程；（II） ． 【解析】試題分析：（Ⅰ）易知b=1，由離心率為，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到橢圓方程； ，整理得： ，解得，則， ==． 15．【2018天津新華中學期中考】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為和，以點為圓心，以為半徑的圓與以點為圓心，以為半徑的圓相交，且交點在橢圓上． （）求橢圓的方程． （）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于、兩點，射線交橢圓于點． ①求的值． ②求面積的最大值． 【答案】（I） （II）①2② 【解析】試題分析：（1）利用橢圓定義可得，再結(jié)合離心率得到橢圓的方程；（2）（i）設(shè)P（x0，y0），|=λ，求得Q的坐標，分別代入橢圓C，E的方程，化簡整理，即可得到所求值； （ii）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，運用韋達定理，三角形的面積公式，（）①橢圓為方程為，設(shè)， 則有，在射線上，設(shè)，代入橢圓可得， 解得，即，． ②（理）由①可得為中點，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等， 故，聯(lián)立，可得， 16．【2018天津河西區(qū)模擬】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為和，以點為圓心，以為半徑的圓與以點為圓心，以為半徑的圓相交，且交點在橢圓上． （）求橢圓的方程． （）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于、兩點，射線交橢圓于點． ①求的值． ②求面積的最大值． 【答案】（1）；（2）①2，②． 【解析】試題分析：（）利用橢圓的定義進行求解；（）①設(shè)點，利用點在橢圓上和三點共線進行求解；②先利用點到直線的距離公式求得，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式、三角形的面積公式進行求解． 試題解析：（）設(shè)兩圓的一個交點為，則，，由在橢圓上可得，則，，得，則，故橢圓方程為． （）①橢圓為方程為，設(shè)，則有， 在射線上，設(shè)，代入橢圓可得， 解得，即，． ②由①可得為中點，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等， 故，聯(lián)立，可得， 17．【2018天津一中月考三】在平面直角坐標系中，焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點，其中為橢圓的離心率．過點作斜率為的直線交橢圓于兩點（在軸下方）． （1）求橢圓的方程； （2）過原點且平行于的直線交橢圓于點，，求的值； （3）記直線與軸的交點為．若，求直線的斜率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】試題分析：（1）將點坐標代入橢圓方程，化簡可得（2）根據(jù)投影可得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡可得定值（3）先求交點坐 整理得，解得或（舍），所以橢圓的方程為． （2）設(shè)，．因為，則直線的方程為． 聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，得，所以．因為，所以直線方程為， 聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，解得． 因為，所以． 因為 ， ，所以 ． （3）在中，令，則，所以， 從而，． 或（舍）．又因為，所以． 【名師點睛】定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的．定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn)． 18．【2018天津耀華中學月考三】已知橢圓的一個焦點在直線上，且離心率． （1）求該橢圓的方程； （2）若與是該橢圓上不同的兩點，且線段的中點在直線上，試證： 軸上存在定點，對于所有滿足條件的與，恒有． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】試題分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)、離心率計算公式及焦點即可得方程； （2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，由線段的中點在直線上，得，假設(shè)在軸上存在定點， ，進而得，即可求得，當直線的斜率不存在時，易得成立． 試題解析：（1）∵橢圓的一個焦點在直線上，∴， 又，∴，∴該橢圓的方程為． （2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為， ，， ∴ ，即，當直線的斜率不存在時，直線垂直于軸，此時顯然成立，綜上，軸上存在定點． 【名師點睛】圓錐曲線中定點問題的常見解法： （1）根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，根據(jù)該方程與參數(shù)無關(guān)，可得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點； （2）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意．