河北省衡水市2019年高考數(shù)學(xué) 各類考試分項匯編 專題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用 文.doc

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專題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用 一、選擇題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十六次模擬考試】已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，若也與函數(shù)， 的圖象相切，則必滿足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期三調(diào)考試】已知函數(shù)滿足，且存在實數(shù)使得不等式成立，則的取值范圍為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵，∴， ∴，解得，，解得， ∴，∴， ∴在遞增，而， 5. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值， 3. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)與的圖象恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是____________. 【答案】 【解析】因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且所以當(dāng)時，與有一個公共點；當(dāng)時，令，即有一個解即可. 設(shè)，則得. 因為當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，有唯一的極小值，即有最小值，所以當(dāng)時，有一個公共點. 綜上，實數(shù)的取值范圍是. 當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立. 當(dāng)時，，，又在上單調(diào)遞減，所以存在，使得， 所以在上，在上， 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立不可能. 綜上所述， . 3. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)】已知函數(shù)． （1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)； （2）證明：當(dāng)時，． 【答案】（1），沒有零點，，存在唯一的零點；（2）證明見解析. 【解析】（1）定義域為，的零點個數(shù)與的交點個數(shù)，①時，無交點，②時，有1個交點，③時，無交點 （2）由（1）時，存在唯一，使，即，且時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時， 4. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十六次模擬考試】已知函數(shù)（），. （1）當(dāng)在處的切線與直線垂直時，方程有兩相異實數(shù)根，求的取值范圍； （2）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，求使不等式在上恒成立的的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由題設(shè)可得，令（） 則令得. 遞減 極小值 遞增 ∵，，， 且有兩個不等實根，∴， 即 ∴ 又， ①，即時，. 所以在內(nèi)單調(diào)遞增，，所以 ②，即時，由在內(nèi)單調(diào)遞增， 且∵，. ∴使得. 遞減 極小值 遞增 所以的最小值為. 又，所以. 因此，要使當(dāng)時，恒成立，只需，即即可. 解得，此時，可得， 以下求出的取值范圍. ∴在上單調(diào)遞增， ∴， 從而，不符合題意． ②若，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增， ∴， ∴在上單調(diào)遞增， ∴, 從而在上，不符合題意； ③若，則在上恒成立， ∴在上單調(diào)遞減， ∴， ∴在上單調(diào)遞減， ∴， ∴即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. 且當(dāng)時，，當(dāng)時，， 要使有兩個不同的根， 必有，解得 ∴實數(shù)的取值范圍是. ②∵， ∴ 又，∴， ∴ 令， 則， 9. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期三調(diào)考試】已知函數(shù)(其中，是自然對數(shù)的底數(shù)). (1)若，當(dāng)時，試比較與2的大??； (2)若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：. 【答案】（1）（2）見解析 （2）函數(shù)有兩個極值點，則是的兩個根，即方程有兩個根， 設(shè)，則， 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且； 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且； 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增且； 要使方程有兩個根，只需，如圖所示 故實數(shù)的取值范圍是 又由上可知函數(shù)的兩個極值點滿足，由得. 由于，故，所以 10. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù) (1)求曲線在點處的切線方程； (2)若函數(shù)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1） （2） （2）由題意得，， 所以. 由，解得， 故當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增. 所以. 又，， 結(jié)合函數(shù)的圖象可得，若函數(shù)恰有兩個零點， 則解得. 所以實數(shù)的取值范圍為. 11. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù). (1)當(dāng)時，若在上恒成立，求的取值范圍； (2)當(dāng)時，證明：. 【答案】（1） （2）見解析 （2）因為， 所以，. 令，則. 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增. 所以，即當(dāng)時，， 所以在上單調(diào)遞減. 又因為 所以當(dāng)時，當(dāng)時， 于是對恒成立. 12. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù)，， 令. （Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值. 【答案】（1）；（2）. 當(dāng)時，. 令得，所以當(dāng)時， ；當(dāng)時， . 因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù). 故函數(shù)的最大值為. 令，因為，. 又因為在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時， . 所以整數(shù)的最小值為2. 13. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期二調(diào)考試】已知函數(shù). (1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍； (2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，證明：. 【答案】（1） （2）見解析 （2）由題得，則 因為有兩個極值點， 所以 欲證等價于證，即， 所以 因為，所以原不等式等價于?. 由可得，則?. 由??可知，原不等式等價于，即 設(shè)，則，則上式等價于. 令，則 因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時，，即， 所以原不等式成立，即. 14. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)． 討論函數(shù)的極值； 若，證明：當(dāng)，時，． 【答案】（1）時，時，函數(shù)取得極小值；時，函數(shù)取得極大值；時，無極值；（2）證明見解析. 證明：當(dāng)，時，，只要證明即可， 由可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，． ， 令， ， 函數(shù)在上單調(diào)遞減， ， 因此結(jié)論成立． 15. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(一)】已知函數(shù),（，為自然對數(shù)的底數(shù)） （1）試討論函數(shù)的極值情況； （2）當(dāng)且時，總有 【答案】(1) 當(dāng)時, 無極值; 當(dāng)時, 極大值為，無極小值.(2)見解析. （2）當(dāng)時， 設(shè)函數(shù)， 則，記， 則 當(dāng)變化時，的變化情況如下表： 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 由上表可知 而 由，知 所以 所以，即 所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù). 所以當(dāng)時， 即當(dāng)且時， 所以當(dāng)且時，總有. 16. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(三)】已知函數(shù)（，）. （1）如果曲線在點處的切線方程為，求、值； （2）若，，關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只有一個，求的取值范圍. 【答案】（1）（2）. （2）當(dāng)時，， 關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只有一個. 等價于關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只要一個，構(gòu)造函數(shù)，所以. ①當(dāng)時，因為，所以，又，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增. 因為，所以在上存在唯一的整數(shù)使得，即. ②當(dāng)時，為滿足題意，函數(shù)在內(nèi)不存在整數(shù)使，即在上不存在整數(shù)使. 因為，所以. 當(dāng)時，函數(shù)，所以在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即； 當(dāng)時，，不符合題意. 綜上所述，的取值范圍為. 17. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(二)】設(shè)函數(shù). （1）試討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）如果且關(guān)于的方程有兩解，，證明. 【答案】（1）見解析；（2）見解析. （2）要證，只需證. 設(shè) ， 因為， 所以為單調(diào)遞增函數(shù). 所以只需證， 即證， 只需證.（*） 又，， 所以兩式相減，并整理，得. 把代入（*）式， 得只需證， 可化為. 令，得只需證. 令（）， 則， 所以在其定義域上為增函數(shù)， 所以. 綜上得原不等式成立. 18. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(二)】在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，），在以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：. （1）試將曲線與化為直角坐標(biāo)系中的普通方程，并指出兩曲線有公共點時的取值范圍； （2）當(dāng)時，兩曲線相交于，兩點，求. 【答案】（1）的取值范圍為；（2）. （2）當(dāng)時，曲線：， 兩曲線交點，所在直線方程為. 曲線的圓心到直線的距離為， 所以. 19. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(二)】已知函數(shù). （1）在下面給出的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，并由圖象找出滿足不等式的解集； （2）若函數(shù)的最小值記為，設(shè)，且有，試證明：. 【答案】（1）解集為；（2）見解析見解析. （2）證明：由圖可知函數(shù)的最小值為，即. 所以，從而， 從而 . 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立， 即，時，有最小值， 所以得證. 20. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三十五模試題】已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）是否存在實數(shù)，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由. （2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”. 即可轉(zhuǎn)化為恒成立. 令，則只需在恒成立即可， ， 當(dāng)時，在時， ，在時， 的最小值為，由得， 故當(dāng)時， 恒成立， 當(dāng)時， ， 在不能恒成立， 當(dāng)時，取，有， 在不能恒成立， 綜上所述，即時，至少有一個，使成立. 21. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試】已知函數(shù)的最大值為，的圖像關(guān)于軸對稱. （1）求實數(shù)， 的值. （2）設(shè)，則是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）， .（2）見解析. （2）由（1）知，，則，所以，令，則對恒成立， 所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以恒成立， 所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是， 則， 問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根， 即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根， 令， ，則， 設(shè)， ，則對恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個不相等的實根. 綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是. 22. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三高考押題（一)】已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）. （1）試討論函數(shù)的極值情況； （2）證明：當(dāng)且時，總有. 【答案】(1) 在處取得極大值，且極大值為，無極小值. (2)見解析. 故在處取得極大值，且極大值為，無極小值. 當(dāng)變化時，，的變化情況如下表： 由上表可知， 而 ， 由，知， 所以， 所以，即. 所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù). 所以當(dāng)時，. 即當(dāng)且時， . 所以當(dāng)且時，總有. 證法二：當(dāng)時， . 因為且，故只需證. 當(dāng)時，成立；