（京津專用）2019高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（三）函數(shù)與導數(shù)（1）文.doc

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(三)函數(shù)與導數(shù)(1) 1．(2018咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝a(x＋1)ln x－x＋1(a∈R)． (1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程； (2)當a≥時，求證：對任意的x≥1，f(x)≥0恒成立． (1)解　由f(x)＝2(x＋1)ln x－x＋1， 得f′(x)＝2ln x＋＋1， 切點為(1,0)，斜率為f′(1)＝3， 所求切線方程為y＝3(x－1)， 即3x－y－3＝0. (2)證明　當a＝時， f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1(x≥1)， 欲證：f(x)≥0，注意到f(1)＝0， 只要f(x)≥f(1)即可， f′(x)＝a－1(x≥1)， 令g(x)＝ln x＋＋1(x≥1)， 則g′(x)＝－＝≥0(x≥1)， 知g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，有g(x)≥g(1)＝2， 所以f′(x)≥2a－1≥0， 可知f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以f(x)≥f(1)＝0， 綜上，當a≥時，對任意的x≥1，f(x)≥0恒成立． 2．(2018濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ex＋x2. (1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)； (2)若對?x>0，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝＋x＋a＝(x>0)， 令f′(x)＝0，即x2＋ax＋1＝0， Δ＝a2－4， ①當a2－4≤0，即－2≤a≤2時， x2＋ax＋1≥0恒成立，即f′(x)≥0， 此時f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，無極值點， ②當a2－4>0，即a<－2或a>2時， 若a<－2，設方程x2＋ax＋1＝0的兩根為x1，x2， 且x10，x2>0， 此時x∈(0，x1)，f′(x)>0，f(x)單調遞增， x∈(x1，x2)，f′(x)<0，f(x)單調遞減， x∈(x2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)單調遞增， 故x1，x2分別為f(x)的極大值點和極小值點， 因此a<－2時，f(x)有兩個極值點； 若a>2，設方程x2＋ax＋1＝0的兩根為x1，x2， 且x10恒成立． 設h(x)＝， h′(x)＝ ＝， 當x∈(0,1)時，ex(x－1)＋ln x＋x2－1<0， 即h′(x)<0，h(x)單調遞減， 當x∈(1，＋∞)時，ex(x－1)＋ln x＋x2－1>0， 即h′(x)>0，h(x)單調遞增， 因此x＝1為h(x)的極小值點， 即h(x)≥h(1)＝e＋1，故a≤e＋1. 3．(2018亳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值． (1)求a的值，并討論函數(shù)f(x)的單調性； (2)當x∈[1，＋∞)時，f(x)≥恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)由題意知f′(x)＝， 又f′(1)＝1－a＝0，即a＝1， ∴ f′(x)＝(x>0)， 令f′(x)>0，得01， ∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減． (2)依題意知，當x∈[1，＋∞)時，f(x)≥恒成立， 即m≤恒成立， 令g(x)＝(x≥1)， 只需g(x)min≥m即可， 又g′(x)＝， 令h(x)＝x－ln x，h′(x)＝1－≥0(x≥1)， ∴h(x)在[1，＋∞)上單調遞增， ∴ h(x)≥h(1)＝1>0，∴ g′(x)>0， ∴g(x)在[1，＋∞)上單調遞增， ∴g(x)min＝g(1)＝2，故m≤2. 4．(2018福建省百校模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－1＋aex. (1)討論f(x)的單調性； (2)當a＝－1時，設－10且f(x1)＋f(x2)＝－5，證明：x1－2x2>－4＋. (1)解　f′(x)＝1＋aex， 當a≥0時，f′(x)>0， 則f(x)在R上單調遞增． 當a<0時，令f′(x)>0，得xln， 則f(x)的單調遞減區(qū)間為. (2)證明　方法一　設g(x)＝f(x)＋2x＝－ex＋3x－1，則g′(x)＝－ex＋3， 由g′(x)<0得x>ln 3； 由g′(x)>0得x－4＋. 方法二　∵f(x1)＋f(x2)＝－5， ∴x1＝－x2－3， ∴x1－2x2＝－3x2－3， 設g(x)＝ex－3x，則g′(x)＝ex－3， 由g′(x)<0得x0得x>ln 3， 故g(x)min＝g(ln 3)＝3－3ln 3. ∵－10， ∴x1－2x2>e－1＋3－3ln 3－3＝－3ln 3， ∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x1－2x2>－4＋. 5．(2018江南十校模擬)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝mx. (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)當a＝0時，f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； (3)當a＝1時，求證：當x>1時，(x＋1)f(x)>2. (1)解　f(x)＝的定義域為(0，＋∞)， 且f′(x)＝＝. 由f′(x)>0得1－ln x－a>0， 即ln x<1－a，解得00得02， 等價于>. 令p(x)＝，則p′(x)＝， 令φ(x)＝x－ln x，則φ′(x)＝1－＝， ∵x>1，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上單調遞增， φ(x)>φ(1)＝1>0，p′(x)>0， ∴p(x)在(1，＋∞)上單調遞增，∴p(x)>p(1)＝2， ∴>， 令h(x)＝，則h′(x)＝， ∵x>1，∴1－ex<0，∴h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上單調遞減， ∴當x>1時，h(x)>h(x)， 即(x＋1)f(x)>2，x>1.