(天津?qū)0妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專(zhuān)題12 直線與圓有關(guān)計(jì)算 理.doc
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母題十二 直線與圓有關(guān)計(jì)算 【母題原題1】【2018天津,理12】 已知圓的圓心為C,直線(為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點(diǎn),則的面積為 . 【答案】 【解析】試題分析:由題意首先求得圓心到直線的距離,然后結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),最后求 【名師點(diǎn)睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí),若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá),則用幾何法;若方程中含有參數(shù),或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣,則用代數(shù)法. 【母題原題2】【2017天津,理11】 在極坐標(biāo)系中,直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________. 【答案】2 【解析】直線為 ,圓為 ,∵ ,∴有兩個(gè)交點(diǎn) 【名師點(diǎn)睛】再利用公式 把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再解聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù),極坐標(biāo)與參數(shù)方程為選修課程,要求靈活使用公式進(jìn)行坐標(biāo)變換及方程變換. 【命題意圖】直線與圓是高中數(shù)學(xué)的C級(jí)知識(shí)點(diǎn),是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn). 【命題規(guī)律】 近年來(lái),高考對(duì)直線與圓的命題,既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化,又保持與函數(shù)或不等式或軌跡相結(jié)合的命題思路,呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用,融會(huì)貫通”的特色,充分彰顯直線與圓的交匯價(jià)值. 【答題模板】解答本類(lèi)題目,以2016年試題為例,一般考慮如下三步: 第一步:利用待定系數(shù)法求圓標(biāo)準(zhǔn)方程 第二步:根據(jù)圓中垂徑定理揭示等量關(guān)系 第三步:利用圓與圓位置關(guān)系、坐標(biāo)表示逐層揭示刻畫(huà)多元關(guān)系 【方法總結(jié)】 1.以動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系,突出考查方程思想和解析法 2.以圓中直角三角形建立函數(shù)關(guān)系式或方程或不等式, 注重考查圓相關(guān)幾何性質(zhì). 3.利用數(shù)形結(jié)合揭示與刻畫(huà)直線與圓、圓與圓位置關(guān)系,重點(diǎn)考查直線與圓的綜合應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 1.【2018天津靜??h一中期末考】已知圓截直線所得弦長(zhǎng)為4,則實(shí)數(shù)的值是( ) A. -3 B. -2 C. -1 D. -4 【答案】C 2.【2018天津七校聯(lián)考】設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn),點(diǎn),則的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函數(shù)的圖象為半圓 在直線 上,所以的最大值為圓心到直線距離加半徑,即 ,選B 【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. (2)與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型及解法.①形如型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率的最值問(wèn)題;②形如型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問(wèn)題;③形如型的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題. 3.【2018天津河西區(qū)模擬】圓與圓的公共弦長(zhǎng)為( ) A. B. C. D. 【答案】D 4.【2018天津一中模擬五】已知圓:與雙曲線的一條漸近線相切,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線,進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離為圓的半徑求得a和b的關(guān)系,進(jìn)而利用c2=a2+b2求得a和c的關(guān)系 詳解:圓C:x2+y2+2x+2y+1=0的標(biāo)方準(zhǔn)程為(x+1)2+(y+)2=3,∴圓心坐標(biāo)為(-1,-),半徑為∵雙曲線一條漸近線為bx-ay=0與圓相切,∴圓心到漸近線的距離為,求得a=b,∴c2=a2+b2=4b2,∴e=,故選:B. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式等.考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用. 5.【2018天津靜??h一中期末考】若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=( ) A. 9 B. 19 C. 21 D. -11 【答案】A 【解析】, , ,半徑為,圓心距為,由于兩圓外切,故,解得.所以選. 6.【2018天津七校期中聯(lián)考】已知點(diǎn)在圓和圓的公共弦上,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 選D 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 7.【2018天津河?xùn)|區(qū)期中考】已知圓,則其圓心和半徑分別為( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】C 【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,得圓心為,半徑.故選. 8.【2018天津部分區(qū)二?!恳阎本€恒過(guò)定點(diǎn),且以為圓心,5為半徑的圓與直線相交于兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)為_(kāi)______. 【答案】 【解析】分析:求出直線過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)C,以及圓心到直線的距離d,根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式 故答案為:2 【名師點(diǎn)睛】當(dāng)直線與圓相交時(shí),弦長(zhǎng)問(wèn)題屬常見(jiàn)的問(wèn)題,最常用的手法是弦心距,弦長(zhǎng)一半,圓的半徑構(gòu)成直角三角形,運(yùn)用勾股定理解題. 9.【2018天津十二二模】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線極坐標(biāo)方程為,它與曲線(為參數(shù))相交于兩點(diǎn)、,則__________. 【答案】2 【解析】分析:先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,將極坐標(biāo)方程為化成直角坐標(biāo)方程,再將曲線的參數(shù)方程化成普通方程,最后利用直角坐標(biāo)方程的形式,利用垂徑定理及勾股定理,由圓的半徑及圓心到直線的距離,即可求出的長(zhǎng). 詳解:,利用進(jìn)行化簡(jiǎn),,為參數(shù)),相消去可得圓的方程為:得到圓心,半徑為,圓心到直線的距離,,線段的長(zhǎng)為,故答案為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長(zhǎng)的求法,求圓的弦長(zhǎng)有兩種方法:一是利用弦長(zhǎng)公式,結(jié)合韋達(dá)定理求解;二是利用半弦長(zhǎng),弦心距,圓半徑構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理求解. 10.【2018天津?yàn)I海新區(qū)模擬】設(shè)直線與圓 相交于兩點(diǎn),若,則__________. 【答案】 【名師點(diǎn)睛】直線與圓相交,連接圓心與弦中點(diǎn)的直線垂直于弦,所以關(guān)于弦的問(wèn)題,利用這個(gè)垂直構(gòu)成直角三角形運(yùn)算. 11.【2018天津靜海一中期末考】方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】為半圓, 為過(guò)點(diǎn)的直線, 由圖可知,直線,即,, , 過(guò)時(shí), ;過(guò)時(shí), ,所以的取值范圍是 12.【2018天津一中模擬二】圓心在直線,且與直線相切于點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. 【答案】 【名師點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識(shí)有:點(diǎn)到直線的距離公式,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線的點(diǎn)斜式方程,當(dāng)直線與圓相切時(shí),圓心到切線的距離等于圓的半徑.屬于基礎(chǔ)題. 13.【2018天津七校聯(lián)考】若圓與圓恰有三條公切線,則的最大值為_(kāi)_________. 【答案】6 【解析】由題意得兩圓相外切,即 , 【名師點(diǎn)睛】判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法 (1)幾何法:利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系. (2)切線法:根據(jù)公切線條數(shù)確定. (3)數(shù)形結(jié)合法:直接根據(jù)圖形確定 14.【2018天津十二重點(diǎn)中學(xué)模擬】已知圓的圓心在軸正半軸上,點(diǎn)在圓上,且圓心到直線的距離為,則圓的方程為_(kāi)_______. 【答案】 【解析】設(shè)圓的方程為,由點(diǎn)在圓上,且圓心到直線的距離為,得,解得圓的方程為,故答案為. 15.【2018天津部分區(qū)期末】以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn),則該圓的方程為_(kāi)_________. 【答案】 16.【2018天津河?xùn)|區(qū)期中】已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】因?yàn)樵趫A內(nèi)部,∴, 即,即,即,∴, . 17.【2018浙江臺(tái)州模擬】若圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則的最小值為_(kāi)_________.由點(diǎn)向圓所作兩條切線,切點(diǎn)記為,當(dāng)取最小值時(shí),外接圓的半徑為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】分析:首先根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),可得直線過(guò)圓心,將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到圓心坐標(biāo),代入直線方程,求得,之后將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的關(guān)系式,配方求得最小值,通過(guò)分析圖形的特征,求得什么情況下是該題所要的結(jié)果,從而得到圓心到直線的距離即為外接圓的直徑,進(jìn)一步求得其半徑. 距離,即,此時(shí)A,B,P,C四點(diǎn)共圓, 此時(shí)PC即為外接圓的直徑,所以其半徑就是. 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,注意圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的條件,之后應(yīng)用代換,轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次式,利用配方法求得最小值,再者就是分析圖形,得到什么情況下滿足取最值,歸納出外接圓的直徑,從而求得半徑. 18.【2018江西師大附中三?!繛榈妊苯侨切?,是內(nèi)的一點(diǎn),且滿足,則的最小值為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】分析:先建立直角坐標(biāo)系,再求點(diǎn)M的軌跡,再求|MB|的最小值. 【名師點(diǎn)睛】(1)本題主要考查軌跡方程和最值的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理轉(zhuǎn)化的能力. (2)本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn),其一是建立直角坐標(biāo)系,其二是求出點(diǎn)M的軌跡方程.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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