2019高考數學 突破三角函數與解三角形問題中的套路 專題01 三角函數的概念、同角三角函數的基本關系式和誘導公式學案 理.doc

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專題01 三角函數的概念、同角三角函數的基本關系式和誘導公式 知識必備 一、任意角的三角函數 1．定義 設是一個任意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，點是角的終邊上任意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是． 注意：正切函數的定義域是，正弦函數和余弦函數的定義域都是. 2．三角函數值在各象限內的符號 三角函數值在各象限內的符號口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函數線 設角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作垂直于軸于．由三角函數的定義知，點的坐標為，即，其中單位圓與軸的正半軸交于點，單位圓在點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點，則．我們把有向線段分別叫做的余弦線、正弦線、正切線． 各象限內的三角函數線如下： 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 圖形 4．特殊角的三角函數值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 補充： 二、同角三角函數的基本關系式 1．平方關系 ． 2．商的關系 ． 3．同角三角函數基本關系式的變形 （1）平方關系的變形：； （2）商的關系的變形：； （3）． 三、三角函數的誘導公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α（k∈Z） π+α ?α π?α ?α +α 正弦 sin α ?sinα ?sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α ?cosα cosα ?cosα sinα ?sinα 正切 tan α tanα ?tanα ?tanα 口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限 核心考點 考點一 三角函數的定義 【例1】已知角的終邊經過點，且，則等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為角的終邊經過點，所以角是第二象限角， 所以，求解可得（正值舍去）.故選A. 備考指南 1．利用三角函數的定義求角的三角函數值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x、縱坐標y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)． 2．利用三角函數線解三角不等式的步驟：①確定區(qū)域的邊界；②確定區(qū)域；③寫出解集． 3．已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據三角函數的定義可求角α終邊上某特定點的坐標． 4．三角函數值的符號及角的位置的判斷．已知一角的三角函數值(，，)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況. 考點二 象限角的判斷 【例2】“”是“角是第一象限角”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 備考指南 1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：將θ的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進行討論，得到或nθ（nN*）所在的象限． 2．象限角的判定有兩種方法： 一是根據圖象，其依據是終邊相同的角的思想； 二是先將此角化為k360＋α（0≤α<360，kZ）的形式，即找出與此角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角． 3．由角的終邊所在的象限判斷三角函數式的符號，需確定各三角函數的符號，然后依據“同號得正，異號得負”求解. 考點三 同角三角函數基本關系式及其應用 【例3】設.若，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為，且，所以,所以.故選A． 備考指南 1．利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化． 2．的齊次式的應用：分式中分子與分母是關于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉化為“切”后求解. 考點四 誘導公式及其應用 【例4】點位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 備考指南 1．應用誘導公式，重點是“函數名稱”與“正負號”的正確判斷．求任意角的三角函數值的問題，都可以通過誘導公式化為銳角三角函數的求值問題，具體步驟為“負角化正角”→“正角化銳角”→求值． 2．使用誘導公式時一定要注意三角函數值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現類似的形式時，需要對k的取值進行分類討論，從而確定出三角函數值的正負． 3．利用誘導公式化簡三角函數式的思路： （1）分析結構特點，選擇恰當公式； （2）利用公式化成單角三角函數； （3）整理得最簡形式． 利用誘導公式化簡三角函數式的要求： （1）化簡過程是恒等變形； （2）結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值． 4．巧用相關角的關系能簡化解題的過程． 常見的互余關系有與，與，與等； 常見的互補關系有與，與等. 考點五 三角函數公式的綜合應用 【例5】已知角的頂點均為坐標原點，始邊均為軸的正半軸，若的終邊分別與單位圓相交于兩點，且. （1）求的值，并確定點所在的象限； （2）若點的坐標為， 求的值. 【解析】（1）. 因為， 所以的終邊在第二或第四象限， 所以點在第二或第四象限. （2）由知， 則 . 備考指南 熟練掌握正切的差角公式，三角函數的誘導公式，同角三角函數的關系式，正確使用公式是解題的關鍵. 能力突破 1．已知角的頂點在原點，始邊與軸正半軸重合，終邊過點（?5，12），則= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題知，=13，根據三角函數定義知，=，，∴ === =，故選B． 【名師點睛】高考中常將三角函數定義與三角函數公式相結合進行考查，是基礎題. 2．已知，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：因為，所以， 所以，故選A． 方法二：由，得，所以. 【名師點睛】同角三角函數基本關系式也常與三角函數誘導公式、恒等變換結合起來進行考查. 3．角為的一個內角，若，則這個三角形為 A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【名師點睛】判斷三角形的形狀有兩種方法：一是根據角來判斷，分為銳角、直角、鈍角三角形；二是根據邊來判斷，分為不等邊、等腰、等邊三角形．注意這兩種分類方法有重合的部分，如等腰直角三角形． 4．已知，. （1）求，的值； （2）求的值. 【解析】（1）因為，所以， 由于，所以， 所以. （2）原式. . 【名師點睛】對于三角函數求值問題，必須熟練記憶和掌握三角函數公式：同角三角函數基本關系式、誘導公式、三角恒等變換. 高考通關 1．（2018北京）在平面直角坐標系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以O??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線. A選項：當點在上時，，，故A選項錯誤； B選項：當點在上時，，，，故B選項錯誤； C選項：當點在上時，，，，故C選項正確； D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤. 綜上，故選C. 【名師點睛】此題考查三角函數的定義，解題的關鍵是能夠利用數形結合思想，作出圖形，找到所對應的三角函數線進行比較. 2．已知，則的值為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，∴原式，故選A． 3．（2017北京）在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若sin=，則sin=_________． 【答案】 【解析】因為角與角的終邊關于軸對稱，所以，所以. 【名師點睛】本題考查了角的對稱關系，以及誘導公式，常用的一些對稱關系包含：若與的終邊關于軸對稱，則 ，若與的終邊關于軸對稱，則，若與的終邊關于原點對稱，則. 4．（2017新課標Ⅰ）已知，tan α=2，則=__________． 【答案】 【名師點睛】三角函數求值的三種類型 （1）給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數． （2）給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯系及函數的差異． ①一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數值代入，從而達到解題的目的． （3）給值求角：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角． 5．（2018新課標Ⅱ）已知，，則__________． 【答案】 【解析】因為，，所以， 因此 6．（2018浙江）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P（）． （1）求sin（α+π）的值； （2）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【解析】（1）由角的終邊過點得， 所以. （2）由角的終邊過點得， 由得. 由得， 所以或. 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！