2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二4.2.3《直線與圓的方程的應用》word教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二4.2.3《直線與圓的方程的應用》word教案 一、教材分析 直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐以及數(shù)學中有著廣泛的應用.本小節(jié)設置了一些例題,分別說明直線與圓的方程在實際生活中的應用,以及用坐標法研究幾何問題的基本思想及其解題過程. 二、教學目標 1．知識與技能 （1）理解掌握，直線與圓的方程在實際生活中的應用. （2）會用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想解決問題. 2．過程與方法 用坐標法解決幾何問題的步驟： 第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題； 第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題； 第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論. 3．情態(tài)與價值觀 讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應用，培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力. 三、教學重點與難點 教學重點：求圓的應用性問題. 教學難點：直線與圓的方程的應用. 四、課時安排 1課時 五、教學設計 （一）導入新課 思路1.如圖1,某城市中的高空觀覽車的高度是100 m, 圖1 在離觀覽車約150 m處有一建筑物,某人在離建筑物100 m的地方剛好可以看到觀覽車,你根據(jù)上述數(shù)據(jù),如何求出該建筑物的高度？要解決這個問題,我們繼續(xù)研究直線與圓的方程的應用,教師板書課題:直線與圓的方程的應用. 思路2.同學們,前面我們學習了圓的方程、直線與圓的位置關系、圓和圓的位置關系,那么如何利用這些關系來解決一些問題,怎樣解決?帶著這些問題我們學習直線與圓的方程的應用.教師板書課題:直線與圓的方程的應用. （二）推進新課、新知探究、提出問題 ①你能說出直線與圓的位置關系嗎？ ②解決直線與圓的位置關系,你將采用什么方法？ ③閱讀并思考教科書上的例4,你將選擇什么方法解決例4的問題？ ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點嗎？ ⑤你能利用“坐標法”解決例5嗎？ 活動：學生回憶,教師引導,教師提問,學生回答,學生之間可以相互交流討論,學生有困難教師點撥.教師引導學生考慮解決問題的思路,要全面考慮,發(fā)散思維.①學生回顧學習的直線與圓的位置關系的種類；②解決直線與圓的位置關系,可以采取兩種方法；③首先考慮問題的實際意義,如果本題出在初中,我們沒有考慮的余地,只有幾何法,在這里當然可以考慮用坐標法,兩種方法比較可知哪個簡單；④回顧圓的定義可知確定一個圓的方程的條件；⑤利用“坐標法”解決問題的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?再利用代數(shù)與幾何元素的相互轉化得到結論. 討論結果：①直線與圓的位置關系有三類:相交、相切、相離. ②解決直線與圓的位置關系,將采用代數(shù)和幾何兩種方法,多數(shù)情況下采用圓心到直線的距離與半徑的關系來解決. ③閱讀并思考教科書上的例4,先用代數(shù)方法及坐標法,再用幾何法,作一比較. ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點,圓心坐標和半徑,有時關于D、E、F的三個獨立的條件也可. ⑤建立適當?shù)淖鴺讼?具體解法我們在例題中展開. （三）應用示例 思路1 例1 講解課本4.2節(jié)例4,解法一見課本. 圖2 解法二：如圖2,過P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2設拱圓所在的圓的半徑為r,則有r2=(r-4)2+102. 解得r=14.5. 在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因為|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A2P2的長度約為3.86 cm. 點評：通過課本解法我們總結利用坐標法解決幾何問題的步驟是：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論. 把兩種解法比較可以看出坐標法通俗易懂,幾何法較難想,繁瑣,因此解題時要有所選擇. 變式訓練 已知圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半. 圖3 解:如圖3,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?設A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 過四邊形ABCD的外接圓的圓心O1分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別為線段AC、BD、AD的中點,由線段的中點坐標公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=. 所以|O1E|=. 又|BC|=,所以|O1E|=|BC|. 點評:用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應的幾何元素、點、直線、圓.將幾何問題轉化為代數(shù)問題,然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題,最后解釋代數(shù)運算結果的幾何意義,得到幾何問題的結論. 例2 有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品后回運的運費是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍,已知A、B兩地相距10 km,居民選擇A或B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應如何選擇購貨地點. 活動：學生先審題,然后思考或討論,學生有困難教師可以提示引導,建立適當?shù)淖鴺讼?這里以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系較簡單,假設一點距A地近,且費用低,列方程或不等式. 解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系,則A(－5,0),B(5,0).設某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品的費用較低,并設A地的運費為3a元/km,則B地運費為a元/km.由于P地居民購買商品的總費用滿足條件：價格+A地運費≤價格+B地運費, 即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2. 所以以點C(-,0)為圓心,為半徑的圓就是兩地居民購貨的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購貨費用較低,圓外的居民從B地購貨費用較低,圓上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等,因此可以隨意從A、B兩地之一購貨. 點評:在學習中要注意聯(lián)系實際,重視數(shù)學在生產(chǎn)、生活和相關學科中的應用,解決有關實際問題時,關鍵要明確題意,掌握建立數(shù)學模型的基本方法. 思路2 例1 求通過直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點,且面積最小的圓的方程. 活動:學生思考或交流,教師提示引導,求圓的方程無非有兩種方法:代數(shù)法和幾何法. 解法一:利用過兩曲線交點的曲線系, 設圓的方程為x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0, 配方得標準式(x+1+λ)2+(y-2-)2=(1+λ)2+(2+)2-3λ-1, ∵r2=λ2+λ+4=(λ+)2+, ∴當λ=-時,半徑r=最小. ∴所求面積最小的圓的方程為5x2+5y2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面幾何知識, 以直線與圓的交點A(x1,y1),B(x2,y2)連線為直徑的圓符合要求. 由消去y,得5x2+6x-2=0. ∴判別式Δ＞0,AB中點橫坐標x0==-,縱坐標y0=2x0+3=, 即圓心O′(-,). 又半徑r=|x1-x2|=, ∴所求面積最小的圓的方程是(x+)2+(y-)2=. 點評:要熟練地進行圓的一般式與標準式之間的互化,這里配方法十分重要,方法二用到求弦長的公式|AB|=|x1-x2|;對于圓的弦長,還可以利用勾股定理求得,即|AB|=,其中r為圓半徑,d為圓心到弦的距離. 變式訓練 設圓滿足①截y軸所得弦長為2,②被x軸分成兩段弧,弧長之比為3∶1,在滿足條件①②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程. 圖4 解:關鍵確定圓心坐標和半徑.如圖4. 設圓心A(a,b),則半徑r=|b|. 由截y軸的弦長為2,知a2+1=r2=2b2, 又圓心A到l的距離d=|a-2b|, ∴5d2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,當且僅當a=b時等號成立. 這里由解得 ∴圓的方程為 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2. 例2 已知x,y是實數(shù),且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值. 活動：學生思考或交流,教師引導,數(shù)形結合,將代數(shù)式或方程賦予幾何意義. 解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以點C(2,3)為圓心,1為半徑的圓. (1)表示圓C上的點P(x,y)與坐標原點O(0,0)連線的斜率k, 故當y=kx為圓C的切線時,k得最值. ∵=1,∴k=2. ∴的最大值為2+,最小值為2-. (2)設x2+y2表示圓C上的點P(x,y)與坐標原點O(0,0)連結的線段長的平方,故由平面幾何知識,知當P為直線OC與圓C的兩交點P1、P2時,OP12與OP22分別為OP2的最大值、最小值. ∴x2+y2的最大值為(+1)2=14+2, 最小值為(-1)2=14-2. (3)令x+y=m, 當直線l:x+y=m與圓C相切時,l在y軸上截距m取得最值. ∵=1,∴m=5. ∴x+y的最大值為5+,最小值為5-. (4)令x-y=n, 當直線l′:x-y=n與圓C相切時,l′在y軸上截距的相反數(shù)n取得最值. ∵=1,∴n=-1. ∴x-y的最大值為-1+,最小值為-1-. 點評:從“數(shù)”中認識“形”,從“形”中認識“數(shù)”,數(shù)形結合相互轉化是數(shù)學思維的基本方法之一.“數(shù)學是一個有機的統(tǒng)一體,它的生命力的一個必要條件是所有的各個部分不可分離地結合.”(希爾伯特)數(shù)形結合的思維能力不僅是中學生的數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)的主要標志之一,而且也是學習高等數(shù)學和現(xiàn)代數(shù)學的基本能力.本題是利用直線和圓的知識求最值的典型題目. 例3 已知圓O的方程為x2+y2=9,求過點A(1,2)所作的弦的中點的軌跡. 活動：學生回想求軌跡方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識. 解法一:參數(shù)法(常規(guī)方法) 設過A的弦所在的直線方程為y-2=k(x-1)(k存在時),P(x,y),則消y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0. ∴x1+x2=. 利用中點坐標公式及中點在直線上,得(k為參數(shù)). ∴消去k得P點的軌跡方程為x2+y2-x-2y=0,當k不存在時,中點P(1,0)的坐標也適合方程. ∴P的軌跡是以點(,1)為圓心,為半徑的圓. 解法二:代點法(涉及中點問題可考慮此法) 設過點A的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2). ∵M、N在圓O上,∴.∴相減得(x1+x2)+(y1+y2)=0(x1≠x2). 設P(x,y),則x=,y=. ∴M、N、P、A四點共線, =(x≠1). ∴2x+2y=0. ∴中點P的軌跡方程是x2+y2-x-2y=0(x=1時亦正確). ∴點P的軌跡是以點(,1)為圓心,為半徑的圓. 解法三:數(shù)形結合(利用平面幾何知識) 由垂徑定理知OP⊥PA,故P點的軌跡是以AO為直徑的圓.(下略) 點評:本題涉及求軌跡方程的三種間接方法.思路一,代表了解析幾何的基本思路和基本方法,即消y(或x)得關于x(或y)的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判別式、韋達定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中點的軌跡方程時,用此法比較簡便. 基本思路是利用弦的兩個端點M(x1,y1)、N(x2,y2)在已知曲線上,將點的坐標代入已知方程然后相減,利用平方差公式可得x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2等.再由弦MN的中點P(x,y)的坐標滿足x=,y=,以及直線MN的斜率k=(x1≠x2)等,設法消去x1、x2、y1、y2,即可得弦MN的中點P的軌跡方程.用此法對斜率不存在的情況,要單獨討論.思路三,數(shù)形結合,利用平面幾何知識等,有時能使求解過程變得非常簡潔. 學好解析幾何,要掌握特點,注意四個結合: ①數(shù)形結合:形不離數(shù),數(shù)不離形,依形判斷,就數(shù)論形; ②動靜結合:動中有靜,靜中有動,幾何條件——曲線方程——圖形性質(zhì); ③特殊與一般結合:一般性寓于特殊性之中,特殊化與一般化是重要的數(shù)學思維方法; ④理論與實際結合:學以致用,創(chuàng)造開拓. （四）知能訓練 課本本節(jié)練習1、2、3、4. （五）拓展提升 某種體育比賽的規(guī)則是:進攻隊員與防守隊員均在安全線l的垂線AC上(C為垂足),且距C分別為2a和a(a＞0)的點A和B,進攻隊員沿直線AD向安全線跑動,防守隊員沿直線方向向前攔截,設AD和BM交于M,若在M點,防守隊員比進攻隊員先到或同時到,則進攻隊員失敗,已知進攻隊員的速度是防守隊員速度的兩倍,且他們雙方速度不變,問進攻隊員的路線AD應為什么方向才能取勝? 圖5 解:如圖5,以l為x軸,C為原點建立直角坐標系,設防守隊員速度為v,則進攻隊員速度為2v,設點M坐標為(x,y),進攻隊員與防守隊員跑到點M所需時間分別為t1=,t2=. 若t1＜t2,則|AM|＜2|BM|,即. 整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,這說明點M應在圓E:x2+(y-a)2=(a)2以外,進攻隊員方能取勝.設AN為圓E的切線,N為切點,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30,所以進攻隊員的路線AD與AC所成角大于30即可. （六）課堂小結 1.用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論. 2.對于直線和圓,熟記各種定義、基本公式、法則固然重要,但要做到迅速、準確地解題,還必須掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化簡、對稱、直交、平行等特點適當?shù)剡x擇坐標系；(2)善于根據(jù)圖形的已知條件和論證的目標,恰當?shù)厥褂们€的方程；(3)掌握直線和圓的基本定義、基本概念、基本性質(zhì),有效運用它們來解題；(4)注意“平幾”知識在簡潔、直觀表達問題中的作用；(5)借助數(shù)形結合進行等價轉化,減少思維量、運算量；(6)靈活使用曲線系方程,方便快捷地解題；(7)根據(jù)背景的特點,巧用字母的替換法則；(8)充分運用韋達定理進行轉化與化歸；(9)留心引參消參、設而不求等在優(yōu)化解題思路方面上的作用. 3.直線和圓在現(xiàn)實生活中有著十分廣泛的應用,主要包括兩大塊：一是直線與圓的直接應用,它涉及到質(zhì)量、重心、氣象預報、購物選址、光的折射、直線型經(jīng)驗公式的選用等問題,這部分涉及的知識內(nèi)容比較簡單,要熟練掌握直線和圓的方程形式；可以使我們更好地了解近代數(shù)學的發(fā)展,從而有利于學生應用數(shù)學意識的培養(yǎng). （七）作業(yè) 習題4.2 B組2、3、5.