2020高考數(shù)學刷題首選卷 第七章 平面解析幾何 考點測試50 拋物線 文(含解析).docx
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考點測試50 拋物線 高考概覽 本考點是高考必考知識點,??碱}型為選擇題、填空題、解答題,分值為5分或12分,中、高等難度 考綱研讀 1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率) 2.理解數(shù)形結合的思想 3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用 一、基礎小題 1.拋物線y=x2的準線方程是( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 答案 A 解析 依題意,拋物線x2=4y的準線方程是y=-1,故選A. 2.設拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線準線的距離為( ) A.4 B.6 C.8 D.12 答案 B 解析 依題意得,拋物線y2=8x的準線方程是x=-2,因此點P到該拋物線準線的距離為4+2=6,故選B. 3.到定點A(2,0)與定直線l:x=-2的距離相等的點的軌跡方程為( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 答案 A 解析 由拋物線的定義可知該軌跡為拋物線且p=4,焦點在x軸正半軸上,故選A. 4.若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于( ) A. B.1 C. D.2 答案 D 解析 由題意3x0=x0+,x0=,則=2,∵p>0,∴p=2,故選D. 5.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|AB|等于( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C 解析 由拋物線y2=4x得p=2,由拋物線定義可得|AB|=x1+1+x2+1=x1+x2+2,又因為x1+x2=6,所以|AB|=8,故選C. 6.若拋物線y=4x2上一點到直線y=4x-5的距離最短,則該點為( ) A.(1,2) B.(0,0) C.,1 D.(1,4) 答案 C 解析 解法一:根據(jù)題意,直線y=4x-5必然與拋物線y=4x2相離,拋物線上到直線的最短距離的點就是與直線y=4x-5平行的拋物線的切線的切點.由y′=8x=4得x=,故拋物線的斜率為4的切線的切點坐標是,1,該點到直線y=4x-5的距離最短.故選C. 解法二:拋物線上的點(x,y)到直線y=4x-5的距離是d===,顯然當x=時,d取得最小值,此時y=1.故選C. 7.已知動圓過點(1,0),且與直線x=-1相切,則動圓的圓心的軌跡方程為________. 答案 y2=4x 解析 設動圓的圓心坐標為(x,y),則圓心到點(1,0)的距離與其到直線x=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2=4x. 8.已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線與x軸的交點為M,N為拋物線上的一點,且滿足|NF|=|MN|,則∠NMF=________. 答案 解析 過N作準線的垂線,垂足是P,則有|PN|=|NF|,∴|PN|=|MN|,∠NMF=∠MNP.又cos∠MNP=,∴∠MNP=,即∠NMF=. 二、高考小題 9.(2018全國卷Ⅰ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解析 根據(jù)題意,過點(-2,0)且斜率為的直線方程為y=(x+2),與拋物線方程聯(lián)立消去x并整理,得y2-6y+8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以=(0,2),=(3,4),從而可以求得=03+24=8,故選D. 10.(2017全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 解析 因為F為y2=4x的焦點,所以F(1,0). 由題意直線l1,l2的斜率均存在,且不為0,設l1的斜率為k,則l2的斜率為-,故直線l1,l2的方程分別為y=k(x-1), y=-(x-1). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=1, 所以|AB|=|x1-x2| = ==. 同理可得|DE|=4(1+k2). 所以|AB|+|DE|=+4(1+k2)=4+1+1+k2=8+4k2+≥8+42=16, 當且僅當k2=,即k=1時,取得等號.故選A. 11.(2018全國卷Ⅲ)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90,則k=________. 答案 2 解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),則 所以y-y=4x1-4x2, 所以k==. 取AB的中點M′(x0,y0),分別過點A,B作準線x=-1 的垂線,垂足分別為A′,B′. 因為∠AMB=90,所以|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA′|+|BB′|). 因為M′為AB的中點,所以MM′平行于x軸. 因為M(-1,1),所以y0=1,則y1+y2=2,所以k=2. 12.(2018北京高考)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸.若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4,則拋物線的焦點坐標為________. 答案 (1,0) 解析 由題意得a>0,設直線l與拋物線的兩交點分別為A,B,不妨令A在B的上方,則A(1,2),B(1,-2),故|AB|=4=4,得a=1,故拋物線方程為y2=4x,其焦點坐標為(1,0). 13.(2017天津高考)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120,則圓的方程為______________________. 答案 (x+1)2+(y-)2=1 解析 由y2=4x可得點F的坐標為(1,0),準線l的方程為x=-1. 由圓心C在l上,且圓C與y軸正半軸相切(如圖),可得點C的橫坐標為-1,圓的半徑為1,∠CAO=90. 又因為∠FAC=120,所以∠OAF=30,所以|OA|=,所以點C的縱坐標為. 所以圓的方程為(x+1)2+(y-)2=1. 三、模擬小題 14.(2018沈陽監(jiān)測)拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標是( ) A.(0,a) B.(a,0) C. D. 答案 C 解析 將y=4ax2(a≠0)化為標準方程得x2=y(tǒng)(a≠0),所以焦點坐標為,故選C. 15.(2018太原三模)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,直線PF與拋物線交于M,N兩點,若=3,則|MN|=( ) A. B.8 C.16 D. 答案 A 解析 由題意F(1,0),設直線PF的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).因為準線方程為x=-1,所以得P(-1,-2k).所以=(2,2k),=(1-x1,-y1),因為=3,所以2=3(1-x1),解得x1=.把y=k(x-1)代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,所以x2=3,從而得|MN|=|MF|+|NF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=.故選A. 16.(2018豫南九校聯(lián)考)已知點P是拋物線x2=4y上的動點,點P在x軸上的射影是點Q,點A的坐標是(8,7),則|PA|+|PQ|的最小值為( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 C 解析 延長PQ與準線交于M點,拋物線的焦點為F(0,1),準線方程為y=-1,根據(jù)拋物線的定義知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.∴|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=10-1=9.當且僅當A,P,F(xiàn)三點共線時,等號成立,則|PA|+|PQ|的最小值為9.故選C. 17.(2018青島質(zhì)檢)已知點A是拋物線C:x2=2py(p>0)的對稱軸與準線的交點,過點A作拋物線C的兩條切線,切點分別為P,Q,若△APQ的面積為4,則實數(shù)p的值為( ) A. B.1 C. D.2 答案 D 解析 解法一:設過點A且與拋物線C相切的直線為y=kx-.由得x2-2pkx+p2=0.由 Δ=4p2k2-4p2=0,得k=1,所以得點P-p,, Qp,,所以△APQ的面積為S=2pp=4,解得p=2.故選D. 解法二:如圖,設點P(x1,y1), Q(x2,y2).由題意得點A0,-.y=x2,求導得y′=x,所以切線PA的方程為y-y1=x1(x-x1),即y=x1x-x,切線PB的方程為y-y2=x2(x-x2),即y=x2x-x,代入A0,-,得點P-p,,Qp,,所以△APQ的面積為S=2pp=4,解得p=2.故選D. 18.(2018沈陽質(zhì)檢一)已知拋物線y2=4x的一條弦AB恰好以P(1,1)為中點,則弦AB所在直線的方程是________. 答案 2x-y-1=0 解析 設點A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B都在拋物線上,可得作差得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因為AB中點為P(1,1),所以y1+y2=2,則有2=4,所以kAB==2,從而直線AB的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 一、高考大題 1.(2018全國卷Ⅰ)設拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點. (1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程; (2)證明:∠ABM=∠ABN. 解 (1)當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,可得M的坐標為(2,2)或(2,-2). 所以直線BM的方程為y=x+1或y=-x-1. (2)證明:當l與x軸垂直時,AB為線段MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN. 當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0. 由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4. 直線BM,BN的斜率之和為 kBM+kBN=+=.① 將x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表達式代入①式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)= ==0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補,所以∠ABM=∠ABN. 綜上,∠ABM=∠ABN. 2.(2018浙江高考)如圖,已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點,拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點A,B滿足PA,PB的中點均在C上. (1)設AB中點為M,證明:PM垂直于y軸; (2)若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動點,求△PAB面積的取值范圍. 解 (1)證明:設P(x0,y0),Ay,y1,By,y2. 因為PA,PB的中點在拋物線上, 所以y1,y2為方程2=4即y2-2y0y+8x0-y=0的兩個不同的實根. 所以y1+y2=2y0, 因此,PM垂直于y軸. (2)由(1)可知 所以|PM|=(y+y)-x0=y(tǒng)-3x0, |y1-y2|=2. 因此,△PAB的面積S△PAB=|PM||y1-y2| =(y-4x0). 因為x+=1(x0<0), 所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5]. 因此,△PAB面積的取值范圍是6,. 3.(2018北京高考)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N. (1)求直線l的斜率的取值范圍; (2)設O為原點,=λ,=μ,求證:+為定值. 解 (1)因為拋物線y2=2px過點(1,2), 所以2p=4,即p=2. 故拋物線C的方程為y2=4x, 由題意知,直線l的斜率存在且不為0. 設直線l的方程為y=kx+1(k≠0). 由得k2x2+(2k-4)x+1=0. 依題意Δ=(2k-4)2-4k21>0, 解得k<0或0- 配套講稿:
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