2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修2-2.doc

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第二章　學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 時(shí)間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的) 1．(2018運(yùn)城期中)下列表述正確的是(　D　) ①歸納推理是由特殊到一般的推理； ②演繹推理是由一般到特殊的推理； ③類比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一種間接證明法． A．①②③④　　　　　 B．②③④ C．①②④ D．①② [解析]　根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題： 對(duì)于①、歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，正確； 對(duì)于②、演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，正確； 對(duì)于③、類比推理是由特殊到特殊的推理，錯(cuò)誤； 對(duì)于④、分析法、綜合法是常見的直接證明法，④錯(cuò)誤； 則正確的是①②． 故選D． 2．觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特點(diǎn)，按此規(guī)律，則第100項(xiàng)為(　B　) A．10 B．14 C．13 D．100 [解析]　設(shè)n∈N*，則數(shù)字n共有n個(gè)， 所以≤100即n(n＋1)≤200， 又因?yàn)閚∈N*，所以n＝13，到第13個(gè)13時(shí)共有＝91項(xiàng)，從第92項(xiàng)開始為14，故第100項(xiàng)為14． 3．欲證－<－成立，只需證(　C　) A．(－)2<(－)2 B．(－)2<(－)2 C．(＋)2<(＋)2 D．(－－)2<(－)2 [解析]　∵－<0，－<0， ∴原不等式只需證＋<＋， ∴只需證(＋)2<(＋)2，故選C． 4．(2017蚌埠期末)用反證法證明命題“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，則a，b全為0”，其反設(shè)正確的是(　B　) A．a(chǎn)，b至少有一個(gè)為0 B．a(chǎn)，b至少有一個(gè)不為0 C．a(chǎn)，b全部為0 D．a(chǎn)，b中只有一個(gè)為0 [解析]　由于“a、b全為0(a、b∈R)”的否定為：“a、b至少有一個(gè)不為0”，故選B． 5．(2017全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　D　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 [解析]　由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀，1個(gè)良好”．乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績． 故選D． 6．(2016棗莊一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　C　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 [解析]　左邊的特點(diǎn)是分母逐漸增加1，末項(xiàng)為； 由n＝k時(shí)，末項(xiàng)為到n＝k＋1時(shí)末項(xiàng)為＝，∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k． 故選C． 7．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可歸納出1＋＋＋…＋小于(　C　) A． B． C． D． [解析]　所猜測(cè)的分式的分母為n＋1，而分子3,5,7…恰好是第n＋1個(gè)正奇數(shù)，即2n＋1．故選C． 8．(2018廣東二模)已知“正三角形的內(nèi)切圓與三邊相切，切點(diǎn)是各邊的中點(diǎn)”，類比之可以猜想：正四面體的內(nèi)切球與各面相切，切點(diǎn)是(　C　) A．各面內(nèi)某邊的中點(diǎn) B．各面內(nèi)某條中線的中點(diǎn) C．各面內(nèi)某條高的三等分點(diǎn) D．各面內(nèi)某條角平分線的四等分點(diǎn) [解析]　由平面中關(guān)于正三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)：“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，根據(jù)平面上關(guān)于正三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)類比為空間中關(guān)于內(nèi)切球的性質(zhì)， 可以推斷在空間幾何中有：“正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的位置是各正三角形的中心”，即各面內(nèi)某條高的三等分點(diǎn)． 故選C． 9．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　D　) A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [解析]　解法1：∵a＋b＋c＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， ∴ab＋ac＋bc＝－≤0． 解法2：令c＝0，若b＝0，則ab＋bc＋ac＝0，否則a、b異號(hào)，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，選D． 10．已知a，b，c，d∈R，則P＝ac＋bd，Q＝ 的大小關(guān)系為(　D　) A．P≥Q B．P>Q C．Q>P D．Q≥P [解析]　Q2＝(a2＋b2)(c2＋d2) ＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2 ＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2≥(ac＋bd)2＝P2， 又∵Q≥0，∴Q≥P． 11．(2016浙江文，5)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，則(　D　) A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 [解析]　根據(jù)題意，logab>1?logab－logaa>0?loga>0?或，即或． 當(dāng)時(shí)，0a>1，∴b－1>0，b－a>0．∴(b－1)(b－a)>0，故選D． 12．已知函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為(　B　) A． B． C．2 D． [解析]　由f ′(x)的圖象知，f ′(x)＝2x＋2， 設(shè)f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x， 由x2＋2x＝0得x＝0或－2． 故所求面積S＝－－2(x2＋2x)dx＝＝． 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．(2018大武口區(qū)校級(jí)一模)甲、乙、丙、丁四人分別從一個(gè)裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)完全相同的小球的袋中依次取出一個(gè)小球．現(xiàn)知道：①甲取出的小球編號(hào)為偶數(shù)；②乙取出的小球編號(hào)比甲大；③乙、丙取出的小球編號(hào)差的絕對(duì)值比甲大．則丁取出的小球編號(hào)是3． [解析]　由①②可知，甲取出的小球編號(hào)為2，乙取出的小球編號(hào)可能是3或4．又|1－4|＝3＞2，|1－3|＝2， 所以由③可知，乙取出的小球編號(hào)是4，丙取出的小球編號(hào)是1， 故丁取出的小球編號(hào)是3． 故答案為3． 14．(2018晉城二模)設(shè)an＝n(n＋1)，利用 n(n＋1)＝求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，設(shè)bn＝n(n＋1)(n＋2)，類比這種方法可以求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝． [解析]　bn＝n(n＋1)(n＋2) ＝， 可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝[1234－0＋2345－1234＋3456－2345＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]＝， 故答案為． 15．(2018沈陽一模)在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可求得sin21＋sin22＋…＋sin289＝44．5． [解析]　設(shè)S＝sin21＋sin22＋…＋sin289， 則S＝sin289＋sin288＋…＋sin21， 兩式倒序相加，得： 2S＝(sin21＋sin289)＋(sin22＋sin288)＋…＋(sin289＋sin21) ＝(sin21＋cos21)＋(sin22＋cos22)＋…＋(sin289＋cos289) ＝89， ∞S＝44．5． 故答案為44．5． 16．(2018靜安區(qū)一模)類似平面直角坐標(biāo)系，我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系(兩條數(shù)軸的原點(diǎn)重合于O點(diǎn)且單位長度相同)稱為斜坐標(biāo)系，在斜坐標(biāo)系xOy中，若＝xe1＋ye2(其中e1、e2分別為斜坐標(biāo)系的x軸，y軸正方向上的單位向量，x，y∈R)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，若在斜坐標(biāo)系xOy中，∠xOy＝60，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為． [解析]　由題意可得＝e1＋2e2， 平方可得2＝e＋4e＋4e1e2 ＝1＋4＋411＝7， 可得||＝， 故答案為． 三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)(2016泉州高二檢測(cè))已知a>0，b>0用分析法證明：≥． [證明]　因?yàn)閍>0，b>0， 要證≥， 只要證，(a＋b)2≥4ab，只要證(a＋b)2－4ab≥0， 即證a2－2ab＋b2≥0， 而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立， 故≥成立． 18．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)滿足下列條件： (1)f()＝1，(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)，)(3)f(x)的值域?yàn)閇－1,1]．試證明：不在f(x)的定義域內(nèi)． [證明]　假設(shè)在f(x)的定義域內(nèi)，因?yàn)閒(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f()＝f()＝f()＋f()＝2． 又f(x)的值域?yàn)閇－1,1]，2?[－1,1]， 所以不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)． 19．(本題滿分12分)我們知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則△ABC是直角三角形．現(xiàn)在請(qǐng)你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，問△ABC為何種三角形？為什么？ [解析]　銳角三角形　∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC＞0． ∵cosC＝， ∴要證cosC＞0，只要證a2＋b2＞c2，① 注意到條件：an＋bn＝cn， 于是將①等價(jià)變形為：(a2＋b2)cn－2＞cn．② ∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2， 即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0， 從而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn ＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0， 這說明②式成立，從而①式也成立． 故cosC＞0，C是銳角，△ABC為銳角三角形． 20．(本題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin13cos17； ②sin215＋cos215－sin15cos15； ③sin218＋cos212－sin18cos12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55． (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． [解析]　(1)選擇②式，計(jì)算如下： sin215＋cos215－sin15cos15 ＝1－sin30＝1－＝． (2)推廣后的三角恒等式為 sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝． 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝． 21．(本題滿分12分)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)稱性質(zhì)．對(duì)于橢圓＋＝1(a＞b＞0)有如下命題：AB是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOMkAB＝－為定值．那么對(duì)于雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，則有命題：AB是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，猜想kOMkAB的值，并證明． [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則有 kOM＝＝，kAB＝， 即kOMkAB＝＝． 將A、B坐標(biāo)代入雙曲線方程－＝1中可得： －＝1① －＝1② ①－②得：＝， ∴＝，即kOMkAB＝． 22．(本題滿分14分)(2017馬鞍山高二檢測(cè))已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N* ．猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論． [解析]　由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝， 由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，已證命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即x2k>x2k＋2，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝ ＝＝ >0， 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2， 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．結(jié)合(1)和(2)知命題成立．