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課時跟蹤訓練(三) 簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞
[基礎鞏固]
一、選擇題
1．下列命題中的假命題是( )
A．?x∈R，x2≥0 B．?x∈R,2x－1>0
C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，sinx＋cosx＝2
[解析] 對于D選項，sinx＋cosx＝sin≤ ，故D錯，易得A、B、C正確．
[答案] D
2．命題“?x0∈N，x＋2x0≥3”的否定為( )
A．?x0∈N，x＋2x0≤3
B．?x∈N，x2＋2x≤3
C．?x0∈N，x＋2x0<3
D．?x∈N，x2＋2x<3
[解析] 命題“?x0∈N，x＋2x0≥3”的否定為“?x∈N，x2＋2x<3”．故選D.
[答案] D
3．(2017云南玉溪一中第四次月考)已知命題p：在△ABC中，“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要條件；命題q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要條件，則下列選項中正確的是( )
A．p真q假 B．p假q真
C．p∨q為假 D．p∧q為真
[解析] 在△ABC中，若C>B，根據大角對大邊，可得c>b，再由正弦定理邊角互化，可得sinC>sinB，反之也成立．所以在△ABC中，C>B是sinC>sinB的充要條件，故命題p是假命題．由a>b，當c＝0時，ac2>bc2不一定成立，但若ac2>bc2成立，則a>b成立，所以a>b是ac2>bc2的必要不充分條件，故命題q是假命題．所以p∨q為假．故選C.
[答案] C
4．若命題“?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命題，則實數k的取值范圍是( )
A．(－4,0)
B．(－4,0]
C．(－∞，－4]∪(0，＋∞)
D．(－∞，－4)∪[0，＋∞)
[解析] 命題：“?x∈R，kx2－kx－1<0”是真命題．當k＝0時，則有－1<0；當k≠0時，則有k<0，且Δ＝(－k)2－4k(－1)＝k2＋4k<0，解得－4
0，所以方程x2－2ax－1＝0有兩個實數根，即命題p是真命題；當x<0時，f(x)＝x＋的值為負值，故命題q為假命題，所以p∨q，p∧(綈q)，綈p∨(綈q)是真命題，故選C.
[答案] C
6．(2017安徽蚌埠質檢)給出以下命題：①?a∈R，函數y＝x3＋ax2＋1不是偶函數；②?a∈R，函數y＝ax2－x＋1是奇函數；③?m>0，函數g(x)＝mx|x|在R上單調遞增；④?m>0，函數g(x)＝mx2＋2x－1在上單調遞減．其中正確命題的序號是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
[解析] 顯然，命題①為真，命題②為假．對于命題③，由于y＝mx|x|＝所以當m>0時，y＝mx|x|在R上單調遞增，命題為真；對于命題④，若y＝mx2＋2x－1在上單調遞減，必有解得m≤－2，故命題為假．綜上可得，正確命題為①③.
[答案] A
7．(2017福建福州外國語學校期中)已知定義域為R的函數f(x)不是偶函數，則下列命題一定為真命題的是( )
A．?x∈R，f(－x)≠f(x)
B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)
C．?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D．?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
[解析] ∵定義域為R的函數f(x)不是偶函數，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題．故選C.
[答案] C
二、填空題
8．(2017安徽合肥一模)命題：?x0∈R，x－ax0＋1<0的否定為____________________．
[解析] 寫命題的否定時，除結論要否定外，存在量詞與全稱量詞要互換，因此命題：?x0∈R，x－ax0＋1<0的否定為?x∈R，x2－ax＋1≥0.
[答案] ?x∈R，x2－ax＋1≥0
9．已知命題p：?x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是________．
[解析] 因為命題p是假命題，所以綈p為真命題，即?x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．當a＝0時，x>－，不滿足題意；當a≠0時，要使不等式恒成立，則有即解得所以a>，即實數a的取值范圍是.
[答案]
10．(2018甘肅蘭州一中月考)已知命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為________．
[解析] 當命題p為真命題時，m＋1≤0，解得m≤－1.當命題q為真命題時，Δ＝m2－411<0，解得－22
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
[解析] 根據特稱命題的否定是全稱命題可知原命題的否定形式為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故選D.
[答案] D
12．(2017安徽安慶二模)設命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則下列命題為真的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
[解析] 對于命題p，當x0＝4時，x0＋＝>3，故命題p為真命題；對于命題q，當x＝4時，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命題q為假命題，所以p∧(綈q)為真命題，故選A.
[答案] A
13．(2017湖北黃岡二模)下列四個結論：
①若x>0，則x>sinx恒成立；②命題“若x－sinx＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sinx≠0”；③“命題p∧q為真”是“命題p∨q為真”的充分不必要條件；④命題“?x∈R，x－lnx>0”的否定是“?x0∈R，x0－lnx0<0”．
其中正確結論的個數是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 對于①，令y＝x－sinx，則y′＝1－cosx≥0，則函數y＝x－sinx在R上遞增，則當x>0時，x－sinx>0－0＝0，即當x>0時，x>sinx恒成立，故①正確；對于②，命題“若x－sinx＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sinx≠0”，故②正確；對于③，命題p∨q為真即p，q中至少有一個為真，p∧q為真即p，q都為真，可知“p∧q為真”是“p∨q為真”的充分不必要條件，故③正確；對于④，命題“?x∈R，x－lnx>0”的否定是“?x0∈R，x0－lnx0≤0”，故④錯誤．綜上，正確結論的個數為3，故選C.
[答案] C
14．(2017甘肅高臺一中第三次檢測)設p：?x∈，使函數g(x)＝log2(tx2＋2x－2)有意義．若綈p為假命題，則實數t的取值范圍為________．
[解析] 因為命題綈p為假命題，所以命題p為真命題．?x∈，使函數g(x)＝log2(tx2＋2x－2)有意義等價于?x∈，使tx2＋2x－2>0成立，即?x∈，使t>－成立．令h(x)＝－，x∈，則?x∈，使t>－成立等價于t>h(x)min.因為h(x)＝－＝22－，x∈，所以當＝，即x＝2時，h(x)min＝－，所以t>－.
[答案]
15．已知m∈R，命題p：對任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命題q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p為真命題，求m的取值范圍；
(2)當a＝1，若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．
[解] (1)∵對任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
因此，若p為真命題時，m的取值范圍是[1,2]．
(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，
∴m≤1.
因此，命題q為真時，m≤1.
∵p且q為假，p或q為真，∴p，q中一個是真命題，一個是假命題．
當p真q假時，由得1
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