2018年秋高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 第1課時 數(shù)列的概念及簡單表示法學案 新人教A版必修5.doc
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第1課時 數(shù)列的概念及簡單表示法 學習目標：1.理解數(shù)列的概念(重點).2.掌握數(shù)列的通項公式及應用(重點).3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式(難點、易錯點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．數(shù)列的概念及一般形式 思考1：(1)數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同？ (2)數(shù)列1,2,3,4,5，數(shù)列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區(qū)別？ [提示] (1)數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的概念．數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當于f(n)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是自變量的值，相當于f(n)中的n.(2)數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素順序不同，而集合{1,2,3,4,5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性． 2．數(shù)列的分類 類別 含義 按項的 個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列 無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列 按項的 變化趨 勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列 常數(shù)列 各項相等的數(shù)列 擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 3.數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式． 4．數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表： 定義域 正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 數(shù)列的通項公式 值域 自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值構(gòu)成 表示方法 (1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法 思考：數(shù)列的通項公式an＝f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)有什么異同？ [提示] 如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})為定義域的函數(shù)，an＝f(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值．不同之處是定義域，數(shù)列中的n必須是從1開始且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是任意非空數(shù)集． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)數(shù)列1,1,1，…是無窮數(shù)列．( ) (2)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個數(shù)列．( ) (3)有些數(shù)列沒有通項公式．( ) [答案] (1)√ (2) (3)√ 提示：(1)正確．每項都為1的常數(shù)列，有無窮多項． (2)錯誤．雖然都是由1,2,3,4四個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，但是兩個數(shù)列中后兩個數(shù)順序不同，不是同一個數(shù)列． (3)正確．某些數(shù)列的第n項an和n之間可以建立一個函數(shù)關(guān)系式，這個數(shù)列就有通項公式，否則，不能建立一個函數(shù)關(guān)系式，這個數(shù)列就沒有通項公式． 2．600是數(shù)列12,23,34,45，…的第________項． 24 [an＝n(n＋1)＝600＝2425，所以n＝24.] 3．數(shù)列{an}滿足an＝log2(n2＋3)－2，則log23是這個數(shù)列的第________項. 【導學號：91432112】 3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.] 4．數(shù)列1,2, ，，，…中的第26項為________． 2 [因為a1＝1＝，a2＝2＝， a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝， 所以a26＝＝＝2.] [合 作 探 究攻 重 難] 數(shù)列的概念及分類 已知下列數(shù)列： ①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________(填序號)． ①⑥?、冖邰堍荨、佗荨、凇、蕖、邰堋①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、擺動數(shù)列；④是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．] [規(guī)律方法] 1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項的性質(zhì)具有以下特點： (1)確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性； (2)可重復性：數(shù)列中的數(shù)可以重復，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)(即互異性)； (3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序(即無序性)； (4)數(shù)列中的每一項都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物． 2．判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點．對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限． [跟蹤訓練] 1．給出下列數(shù)列： (1)2010～2017年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,118,132,147,163,180. (2)無窮多個構(gòu)成數(shù)列， ， ， ，…. (3)－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________. 【導學號：91432113】 (1) (2)(3) (1) (2) (3) [(1)為有窮數(shù)列；(2)(3)是無窮數(shù)列，同時(1)也是遞增數(shù)列；(2)為常數(shù)列；(3)為擺動數(shù)列．] 由數(shù)列的前幾項求通項公式 寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項是下列各數(shù)： (1)－1，，－，； (2)，3，，； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5. 思路探究：①求數(shù)列的通項公式時，是否應考慮將個別項或各項進行適當?shù)淖冃?？②?shù)列的通項公式唯一嗎？ [解] (1)任何一個整數(shù)都可以看成一個分數(shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)， 正負相間用(－1)的多少次冪進行調(diào)整，其一個通項公式為an＝(－1)n. (2)數(shù)列可化為，，，，即，，，，…，每個根號里面可分解成兩數(shù)之積，前一個因數(shù)為常數(shù)3，后一個因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個通項公式為an＝＝. (3)原數(shù)列可變形為，，，，…，故數(shù)列的一個通項公式為an＝1－. (4)數(shù)列給出前4項，其中奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5，所以通項公式的一種表示方法為an＝.此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此數(shù)列的一個通項公式又可以寫為an＝4＋(－1)n. [規(guī)律方法] 1．據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相鄰項的變化特征； ③拆項后的特征； ④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想． 2．觀察、分析數(shù)列中各項的特點是最重要的，觀察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整． [跟蹤訓練] 2．寫出下列數(shù)列的一個通項公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，…. 【導學號：91432114】 [解] (1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1(n∈N*)． (2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)． (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋＝(n∈N*)． (4)原數(shù)列的各項可變?yōu)?，99，999，9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個通項公式為an＝10n－1，所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)(n∈N*)． 數(shù)列通項公式的應用 [探究問題] 1．數(shù)列，，，，，…的通項公式是什么？該數(shù)列的第7項是什么？是否為該數(shù)列中的一項？為什么？ 提示：由數(shù)列各項的特點可歸納出其通項公式為an＝，當n＝7時，a7＝＝，若為該數(shù)列中的一項，則＝，解得n＝8，所以是該數(shù)列中的第8項． 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點？試利用圖象說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)項． 提示：由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，從第3項往后各項為負數(shù)項． 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n. (1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項； (2)問－49是否是該數(shù)列的一項？如果是，應是哪一項？68是否是該數(shù)列的一項呢？ 思路探究：(1)將n＝4，n＝6分別代入an求出數(shù)值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否為正整數(shù)判斷． [解] (1)a4＝342－284＝－64， a6＝362－286＝－60. (2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是該數(shù)列的第7項； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項． 母題探究：1.(變結(jié)論)若本例中的條件不變， (1)試寫出該數(shù)列的第3項和第8項； (2)問20是不是該數(shù)列的一項？若是，應是哪一項？ [解] (1)因為an＝3n2－28n， 所以a3＝332－283＝－57，a8＝382－288＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)， 所以20是該數(shù)列的第10項． 2．(變條件，變結(jié)論)若將例題中的“an＝3n2－28n”變?yōu)椤癮n＝n2＋2n－5”，試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性． [解] ∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3. ∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． [規(guī)律方法] 1．由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對n進行取值，然后代入通項公式，相當于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值． 2．判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數(shù)求方程的根，根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項． 3．在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})這一約束條件． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．下列說法正確的是( ) A．數(shù)列1,3,5,7，…，2n－1可以表示為1,3,5,7，… B．數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列 C．數(shù)列的第k項為1＋ D．數(shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n} C 2．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( ) 【導學號：91432115】 A．11 B．12 C．13 D．14 C [觀察可知該數(shù)列從第3項開始每一項都等于它前面相鄰兩項的和，故x＝5＋8＝13.] 3．已知數(shù)列2，，4，…，，…，則8是該數(shù)列的第________項． 11 [令＝8，得n＝11.] 4．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝3－2n，則a2n＝________，＝________. 【導學號：91432116】 3－4n [根據(jù)通項公式我們可以求出這個數(shù)列的任意一項．因為an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n， ＝＝.] 5．已知數(shù)列. (1)求這個數(shù)列的第10項； (2)是不是該數(shù)列中的項，為什么？ (3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi)． [解] 設(shè)f(n)＝ ＝＝. (1)令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項． (3)證明：∵an＝＝＝1－， 又n∈N*， ∴0<<1，∴0下載提示(請認真閱讀)
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