橢圓、雙曲線、拋物線練習題.doc

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精講精練 【例】以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________. 解： 拋物線的焦點為，設雙曲線方程為，，雙曲線方程為 【例】雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數列，則b2=_________。 解：設F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2， 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|，依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4， 依已知條件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜, 又∵c2=4+b2＜，∴b2＜，∴b2=1。 【例】當取何值時，直線：與橢圓相切，相交，相離？ 解： ①代入②得化簡得 當即時，直線與橢圓相切； 當，即時，直線與橢圓相交； 當，即或時，直線與橢圓相離。 【例】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程。 解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2， ∴b2=4，設橢圓方程為 ① 設過M1和M2的直線方程為y=－x+m ② 將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 設M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中點為(x0，y0)， 則x0= (x1+x2)=，y0=－x0+m=。 代入y=x，得， 由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－，又|M1M2|=， 代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1。 【例】已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程。 解：設橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0，Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0，即m+n－mn＞0， 由OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴+1=0，∴m+n=2 ① 又22，將m+n=2，代入得mn= ② 由①、②式得m=，n=或m=，n= 故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1。 【例】已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。 解：由設橢圓方程為 設 又 兩式相減，得 又即 將 由得 解得 故所有橢圓方程 【例】過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程。 解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上。 則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0， 設AB中點為(x0，y0)，則kAB=－，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是－=－1，kAB=－1， 設l的方程為y=－x+1。右焦點(b，0)關于l的對稱點設為(x′，y′)， 由點(1，1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2，b2=。 ∴所求橢圓C的方程為 =1，l的方程為y=－x+1。 解法二：由e=，從而a2=2b2，c=b。設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為y=k(x－1)， 將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0， 則x1+x2=，y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－。 直線l：y=x過AB的中點()，則，解得k=0，或k=－1。 若k=0，則l的方程為y=0，焦點F(c，0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。 解法三：設橢圓方程為 直線不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設直線 ， ，，， ，， ，， ，，， ，， 則， ，， ， 所以所求的橢圓方程為： 【例】如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程。 解：以O為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系。 設雙曲線方程為=1(a＞0，b＞0)，由e2=，得。 ∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x 設點P1(x1， x1)，P2(x2，－x2)(x1＞0，x2＞0)， 則由點P分所成的比λ==2，得P點坐標為()， 又點P在雙曲線=1上，所以=1， 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4，b2=9。 故雙曲線方程為=1。 【例】過橢圓C：上一動點P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點。(1) 已知P點坐標為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。 解：(1)設A(x1，y1)，B(x2， y2) 切線PA：，PB： ∵P點在切線PA、PB上，∴ ∴直線AB的方程為 (2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) ∴ ① ∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25， b2 =16 ∴橢圓C方程： (3) 假設存在點P(x0，y0)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知， 四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| ∴ ① 又∵P點在橢圓C上 ∴ ② 由①②知x ∵a>b>0 ∴a2 －b2>0 (1)當a2－2b2>0，即a>b時，橢圓C上存在點，由P點向圓所引兩切線互相垂直； (2)當a2－2b2<0，即b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點， （I）求橢圓E的方程； （II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。 考點：本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數問題以及方程的根與系數關系。 解：（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點, 所以解得所以橢圓E的方程為 （2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且, 設該圓的切線方程為。 解方程組得,即, 則△=,即 , 要使,需使,即,所以,所以 又,所以,所以,即或, 因為直線為圓心在原點的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,,, 所求的圓為,此時圓的切線都滿足或, 而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或 滿足, 綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且。 所以, , ①當時。 因為所以, 所以, 所以當且僅當時取”=”。 ② 當時,。 ③ 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時, 綜上, |AB |的取值范圍為即: