【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第7講 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例教案 理 新人教版

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1、第7講 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例 【2020年高考會(huì)這樣考】 考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題中的角度、方向、距離及測(cè)量問(wèn)題. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1.本講聯(lián)系生活實(shí)例,體會(huì)建模過(guò)程,掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法. 2.加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力.   基礎(chǔ)梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型 測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等. 2.實(shí)際問(wèn)題中的常用角 (1)仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖(1)). (2)

2、方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖(2)). (3)方向角:相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東30°,北偏西45°,西偏東60°等. (4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù). 一個(gè)步驟 解三角形應(yīng)用題的一般步驟: (1)閱讀理解題意,弄清問(wèn)題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系. (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型. (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解. (4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題,注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等. 兩種情形 解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形 (

3、1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解. 雙基自測(cè) 1.(人教A版教材習(xí)題改編)如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為(  ). A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解

4、析 由正弦定理得=,又∵B=30° ∴AB===50(m). 答案 A 2.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為(  ). A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 解析 根據(jù)仰角與俯角的定義易知α=β. 答案 B 3.若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°,且AC=BC,則點(diǎn)A在點(diǎn)B的(  ). A.北偏東15° B.北偏西15° C.北偏東10° D.北偏西10° 解析 如圖. 答案 B 4.一船向正北航行,看見(jiàn)正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后

5、,看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時(shí)(  ). A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里 解析 如圖所示,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10(海里), 在Rt△ABC中,得AB=5(海里), 于是這艘船的速度是=10(海里/時(shí)). 答案 C 5.海上有A,B,C三個(gè)小島,測(cè)得A,B兩島相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,則B,C間的距離是________海里. 解析 由正弦定理,知=.解得BC=5(海里). 答案 5    考向一

6、 測(cè)量距離問(wèn)題 【例1】?如圖所示, 為了測(cè)量河對(duì)岸A,B兩點(diǎn)間的距離,在這岸定一基線CD,現(xiàn)已測(cè)出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,試求AB的長(zhǎng). [審題視點(diǎn)] 在△BCD中,求出BC,在△ABC中,求出AB. 解 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以AC=a.∵∠BCD=30°,∠BDC=105°∴∠CBD=45° 在△BCD中,由正弦定理可得BC==a. 在△ABC中,已經(jīng)求得AC和BC,又因?yàn)椤螦CB=30°,所以利用余弦定理可以求得A,B兩點(diǎn)之間的距離為AB==a. (1)利用示意圖

7、把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角,求得該數(shù)學(xué)模型的解. 【訓(xùn)練1】 如圖,A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等,然后求B,D的距離. 解 在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1 km.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底邊AD的中垂

8、線,所以BD=BA. 又∵∠ABC=15° 在△ABC中,=, 所以AB==(km), 同理,BD=(km). 故B、D的距離為 km. 考向二 測(cè)量高度問(wèn)題 【例2】?如圖,山腳下有一小塔AB,在塔底B測(cè)得山頂C的仰角為60°,在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD. [審題視點(diǎn)] 過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB,延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)E,在△AEC中建立關(guān)系. 解  如圖,設(shè)CD=x m, 則AE=x-20 m, tan 60°=, ∴BD===x (m). 在△AEC中,x-20=x, 解得x=10(3+) m.故山高CD為10(3+)

9、 m. (1)測(cè)量高度時(shí),要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念; (2)分清已知和待求,分析(畫(huà)出)示意圖,明確在哪個(gè)三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理. 【訓(xùn)練2】 如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB. 解 在△BCD中,∠CBD=π-α-β, 由正弦定理得=, 所以BC== 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=. 考向三 正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用 【例3】?如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB

10、=45°,求BD的長(zhǎng). [審題視點(diǎn)] 由于AB=5,∠ADB=45°,因此要求BD,可在△ABD中,由正弦定理求解,關(guān)鍵是確定∠BAD的正弦值.在△ABC中,AB=5,AC=9,∠ACB =30°,因此可用正弦定理求出sin∠ABC,再依據(jù)∠ABC與∠BAD互補(bǔ)確定sin∠BAD即可. 解 在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°. 由正弦定理,得=, sin∠ABC===. ∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC, 于是sin∠BAD=sin∠ABC=. 同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD=, ∠ADB=45°,由正弦定理:=, 解得BD=.

11、故BD的長(zhǎng)為. 要利用正、余弦定理解決問(wèn)題,需將多邊形分割成若干個(gè)三角形,在分割時(shí),要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理. 【訓(xùn)練3】 如圖,在△ABC中,已知∠B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=10,AC=14,DC=6,求AB的長(zhǎng). 解 在△ADC中,AD=10, AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos∠ADC= ==-,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°. 在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得=, ∴AB====5.    規(guī)范解答9——如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn) 【問(wèn)題研究】 (1)解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步

12、驟是:審題——建模(準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形)——求解——檢驗(yàn)作答.,(2)三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的類型:,①實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;,②實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形,這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解;,③實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后,涉及的三角形只有一個(gè),但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.,【解決方案】 航海、測(cè)量問(wèn)題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形,根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離,因此解題的關(guān)鍵就是通過(guò)這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目

13、標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中. 【示例】?(本題滿分12分) 如圖,甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時(shí)兩船相距10海里.問(wèn):乙船每小時(shí)航行多少海里? (1)分清已知條件和未知條件(待求).(2)將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中.(3)利用正、余弦定理求解. [解答示范] 如圖,連接A1B2由已知A2B2=10, A1A2=30×=10,∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180°-1

14、20°=60°, ∴△A1A2B2是等邊三角形, ∴A1B2=A1A2=10.由已知,A1B1=20, ∠B1A1B2=105°-60°=45°,(8分) 在△A1B2B1中,由余弦定理得 B1B=A1B+A1B-2A1B1·A1B2·cos 45° =202+(10)2-2×20×10×=200, ∴B1B2=10. 因此,乙船的速度為×60=30(海里/時(shí)).(12分) 利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題要注意根據(jù)條件畫(huà)出示意圖,結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形,然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題進(jìn)行求解. 【試一試】 如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,求cos θ. [嘗試解答] 如圖所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20. 由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=. 由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,故cos∠ACB=. 故cos θ=cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30° =×-×=.

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