高考數(shù)學大一輪復習 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理.ppt

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,第七章 立體幾何,第七節(jié) 立體幾何中的向量方法,,[考情展望] 1.考查利用空間向量判斷、證明空間中的線、面位置關系.2.考查利用向量求空間角的大小.3.以解答題為主要考查形式．,固本源 練基礎 理清教材,(1)①平行 (2)①垂直,[基礎梳理],2．空間位置關系的向量表示 n1＝kn2 n1n2＝0 nm＝0 n＝km n＝km nm＝0,3．空間角的向量求法 (1)異面直線所成角的求法． 設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量.,(2)直線和平面所成角的求法． 如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝________.直線與平面所成角的范圍為[0，90]．,,(3)二面角的求法． ①如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個半平面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝________.,,②如圖②，圖③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝__________或________．,,,[基礎訓練],答案：1.(1)√ (2) (3) (4)√,,,4．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________．,,,5．(2015上海普陀區(qū)一模)正四棱錐S－ABCD中，O為頂點S在底面上的射影，P為側棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________．,,答案：30,精研析 巧運用 全面攻克,[調研1] 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30的角． (1)求證：CM∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PAD．,┃考點一┃ 利用空間向量證明平行、垂直 ——師生共研型,,,,,1．恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵． 2．證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉化為向量運算． 3．證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉化為證明直線與直線垂直．,名師歸納類題練熟,如圖所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰三角形，∠BAC＝90，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點．求證： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.,[好題研習],┃考點二┃ 利用空間向量求線線角和線面角 ——師生共研型,[解析] (1)證明：由該四面體的三視圖，可知 BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD＝DC＝2，AD＝1. 由題設，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC． ∴AD⊥BC，∴EF⊥FG， ∴四邊形EFGH是矩形．,,,,,名師歸納類題練熟,(2015臨沂一模)在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1B1B為菱形，AA1＝4，AC＝3，BC＝B1C＝5，∠ABB1＝60，D為AB的中點． (1)求證：B1D⊥B1C1； (2)求直線AA1與平面CB1D所成角的正弦值．,[好題研習],,解：(1)證明：∵四邊形AA1B1B為菱形，∴AB＝AA1＝4. 又∵AC＝3，BC＝B1C＝5，∴BC2＝AB2＋AC2， ∴∠BAC＝90，即AC⊥AB． 連接AB1，∵∠ABB1＝60，∴AB1＝AB＝4. 在△AB1C中，由B1C2＝AB＋AC2， 得∠CAB1＝90，∴AC⊥AB1. ∵AB∩AB1＝A，∴AC⊥平面AA1B1B． 又∵B1D?平面AA1B1B，∴AC⊥B1D． 又D為AB的中點，∴B1D⊥AB． ∵AB∩AC＝A，∴B1D⊥平面ABC． ∵BC?平面ABC，∴B1D⊥BC， 又B1C1∥BC，∴B1D⊥B1C1.,,[考情]二面角是高考的重點，也是考查熱點，二面角可以將面面位置關系、線面位置關系、線線位置關系很好地融合在一起考查，且命題形式多樣化．無論是選擇題、填空題還是解答題都有關于這個考點常見的命題形式．,┃考點三┃ 利用空間向量求二面角——高頻考點型,因為AO⊥BD，所以NH⊥BD． 因為MN⊥NP，所以BD⊥NP. 因為NH，NP?平面NHP，且NH∩NP＝N， 所以BD⊥平面NHP. 又因為HP?平面NHP，所以BD⊥HP. 又OC⊥BD，HP?平面BCD，OC?平面BCD， 所以HP∥OC． 因為H為BO中點，故P為BC中點．,提醒：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個平面所在的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．,熱點破解通關預練,[好題研習],[考情]探索存在性問題在立體幾何綜合考查中是常考的命題角度，也是考生感覺較難，失分較多的問題，歸納起來立體幾何中常見的探索性問題有： (1)探索性問題與空間角相結合； (2)探索性問題與平行或垂直相結合； (3)探索性問題與空間距離相結合．,┃考點四┃ 利用空間向量解決探索性問題 ——多維探究型,,,,,[解析] (1) 證明：因為AA1C1C為正方形， 所以AA1⊥AC． 因為平面ABC⊥平面AA1C1C, 且AA1垂直于這兩個平面的交線AC, 所以AA1⊥平面ABC． (2)解：由(1) 知AA1⊥AC, AA1⊥AB．由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC． 如圖， 以A為原點建立空間直角坐標系A－xyz, 則B(0,3,0), A1(0,0,4), B1(0,3,4), C1(4,0,4)．,,視點三：探索性問題與空間距離相結合 3．(2015淄博模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60，AB＝2CB＝2.在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD． (1)求證：BC⊥AF； (2)若二面角D－AF－C的大小為45，求CE的長．,,[解析] (1)證明：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos 60＝3， 所以AB2＝AC2＋BC2， 由勾股定理的逆定理，知∠ACB＝90，所以BC⊥AC． 又因為EC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥EC． 又因為AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF， 又AF?平面ACEF， 所以BC⊥AF.,學方法 提能力 啟智培優(yōu),[規(guī)范答題] 向量法求空間角,[審題視角] (1)轉化為證明C1M∥AD1. (2)解法一是通過建立空間直角坐標系，用向量法求解． 解法二是作出二面角的平面角，通過解三角形求解． [滿分展示] (1)證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形， 且AB＝2CD， 所以AB∥DC，又由M是AB的中點， 因此CD∥MA且CD＝MA．(2分),,連接AD1，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因為CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形，因此C1M∥D1A． 又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1， 所以C1M∥平面A1ADD1.(4分),解法二：由(1)，知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，過C向AB引垂線交AB于N，連接D1N.(6分),[答題模板] 利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標系． 第二步：確定點的坐標． 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標． 第四步：計算向量的夾角(或函數(shù)值)． 第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角． 第六步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范．,[溫馨提醒] (1)利用向量求角是高考的熱點，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用． (2)本題易錯點是在建立坐標系時不能明確指出坐標原點和坐標軸，導致建系不規(guī)范． (3)將向量的夾角轉化成空間角時，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進行轉化，否則易錯．,,[名師指導],