高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理.ppt

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,第七章 立體幾何,第七節(jié) 立體幾何中的向量方法,,[考情展望] 1.考查利用空間向量判斷、證明空間中的線、面位置關(guān)系.2.考查利用向量求空間角的大小.3.以解答題為主要考查形式．,固本源 練基礎(chǔ) 理清教材,(1)①平行 (2)①垂直,[基礎(chǔ)梳理],2．空間位置關(guān)系的向量表示 n1＝kn2 n1n2＝0 nm＝0 n＝km n＝km nm＝0,3．空間角的向量求法 (1)異面直線所成角的求法． 設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量.,(2)直線和平面所成角的求法． 如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝________.直線與平面所成角的范圍為[0，90]．,,(3)二面角的求法． ①如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝________.,,②如圖②，圖③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝__________或________．,,,[基礎(chǔ)訓(xùn)練],答案：1.(1)√ (2) (3) (4)√,,,4．長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______．,,,5．(2015上海普陀區(qū)一模)正四棱錐S－ABCD中，O為頂點(diǎn)S在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________．,,答案：30,精研析 巧運(yùn)用 全面攻克,[調(diào)研1] 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30的角． (1)求證：CM∥平面PAD； (2)求證：平面PAB⊥平面PAD．,┃考點(diǎn)一┃ 利用空間向量證明平行、垂直 ——師生共研型,,,,,1．恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵． 2．證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說(shuō)明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算． 3．證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直．,名師歸納類題練熟,如圖所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰三角形，∠BAC＝90，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)．求證： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.,[好題研習(xí)],┃考點(diǎn)二┃ 利用空間向量求線線角和線面角 ——師生共研型,[解析] (1)證明：由該四面體的三視圖，可知 BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD＝DC＝2，AD＝1. 由題設(shè)，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC． ∴AD⊥BC，∴EF⊥FG， ∴四邊形EFGH是矩形．,,,,,名師歸納類題練熟,(2015臨沂一模)在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1B1B為菱形，AA1＝4，AC＝3，BC＝B1C＝5，∠ABB1＝60，D為AB的中點(diǎn)． (1)求證：B1D⊥B1C1； (2)求直線AA1與平面CB1D所成角的正弦值．,[好題研習(xí)],,解：(1)證明：∵四邊形AA1B1B為菱形，∴AB＝AA1＝4. 又∵AC＝3，BC＝B1C＝5，∴BC2＝AB2＋AC2， ∴∠BAC＝90，即AC⊥AB． 連接AB1，∵∠ABB1＝60，∴AB1＝AB＝4. 在△AB1C中，由B1C2＝AB＋AC2， 得∠CAB1＝90，∴AC⊥AB1. ∵AB∩AB1＝A，∴AC⊥平面AA1B1B． 又∵B1D?平面AA1B1B，∴AC⊥B1D． 又D為AB的中點(diǎn)，∴B1D⊥AB． ∵AB∩AC＝A，∴B1D⊥平面ABC． ∵BC?平面ABC，∴B1D⊥BC， 又B1C1∥BC，∴B1D⊥B1C1.,,[考情]二面角是高考的重點(diǎn)，也是考查熱點(diǎn)，二面角可以將面面位置關(guān)系、線面位置關(guān)系、線線位置關(guān)系很好地融合在一起考查，且命題形式多樣化．無(wú)論是選擇題、填空題還是解答題都有關(guān)于這個(gè)考點(diǎn)常見(jiàn)的命題形式．,┃考點(diǎn)三┃ 利用空間向量求二面角——高頻考點(diǎn)型,因?yàn)锳O⊥BD，所以NH⊥BD． 因?yàn)镸N⊥NP，所以BD⊥NP. 因?yàn)镹H，NP?平面NHP，且NH∩NP＝N， 所以BD⊥平面NHP. 又因?yàn)镠P?平面NHP，所以BD⊥HP. 又OC⊥BD，HP?平面BCD，OC?平面BCD， 所以HP∥OC． 因?yàn)镠為BO中點(diǎn)，故P為BC中點(diǎn)．,提醒：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)平面所在的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．,熱點(diǎn)破解通關(guān)預(yù)練,[好題研習(xí)],[考情]探索存在性問(wèn)題在立體幾何綜合考查中是常考的命題角度，也是考生感覺(jué)較難，失分較多的問(wèn)題，歸納起來(lái)立體幾何中常見(jiàn)的探索性問(wèn)題有： (1)探索性問(wèn)題與空間角相結(jié)合； (2)探索性問(wèn)題與平行或垂直相結(jié)合； (3)探索性問(wèn)題與空間距離相結(jié)合．,┃考點(diǎn)四┃ 利用空間向量解決探索性問(wèn)題 ——多維探究型,,,,,[解析] (1) 證明：因?yàn)锳A1C1C為正方形， 所以AA1⊥AC． 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C, 且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC, 所以AA1⊥平面ABC． (2)解：由(1) 知AA1⊥AC, AA1⊥AB．由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC． 如圖， 以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz, 則B(0,3,0), A1(0,0,4), B1(0,3,4), C1(4,0,4)．,,視點(diǎn)三：探索性問(wèn)題與空間距離相結(jié)合 3．(2015淄博模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60，AB＝2CB＝2.在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD． (1)求證：BC⊥AF； (2)若二面角D－AF－C的大小為45，求CE的長(zhǎng)．,,[解析] (1)證明：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos 60＝3， 所以AB2＝AC2＋BC2， 由勾股定理的逆定理，知∠ACB＝90，所以BC⊥AC． 又因?yàn)镋C⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥EC． 又因?yàn)锳C∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF， 又AF?平面ACEF， 所以BC⊥AF.,學(xué)方法 提能力 啟智培優(yōu),[規(guī)范答題] 向量法求空間角,[審題視角] (1)轉(zhuǎn)化為證明C1M∥AD1. (2)解法一是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解． 解法二是作出二面角的平面角，通過(guò)解三角形求解． [滿分展示] (1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形， 且AB＝2CD， 所以AB∥DC，又由M是AB的中點(diǎn)， 因此CD∥MA且CD＝MA．(2分),,連接AD1，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)镃D∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形，因此C1M∥D1A． 又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1， 所以C1M∥平面A1ADD1.(4分),解法二：由(1)，知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，過(guò)C向AB引垂線交AB于N，連接D1N.(6分),[答題模板] 利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系． 第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)． 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)． 第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)． 第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角． 第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．,[溫馨提醒] (1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用． (2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范． (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò)．,,[名師指導(dǎo)],