上海市高考數學一輪復習 專題突破訓練 立體幾何 理

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 上海市高三數學理一輪復習專題突破訓練 立體幾何 一、填空、選擇題 1、（上海高考）若圓錐的側面積與過軸的截面面積之比為2π，則其母線與軸的夾角的大小為　?。? 2、（上海高考）若圓錐的側面積是底面積的倍，則其母線與底面夾角的大小為 （結果用反三角函數值表示）. 3、（上海高考）在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方

2、體，得出的體積值為__________ A B l C N P O 4、（靜安、青浦、寶山區(qū)高三二模）已知扇形的圓心角是弧度，半徑為，則此扇形的弧長為 ． 5、（閔行區(qū)高三二模） 如圖，已知直線平面， 垂足為，在中，， 點是邊上的動點.該三角形在空間按以下條件作自由 移動：(1)，(2).則的最大值為 (　 　) (A) . (B) . (C) . (D) . 6、（浦東新區(qū)高三二模）已知球的表面積為64，用一個平面截球，使截面圓的半徑為2，則截面與球心的距離是 . 7、（普陀區(qū)高三二模

3、）一個圓錐與一個球的體積相等且圓錐的底面半徑是球半徑的2倍，若圓錐的高為1，則球的表面積為 8、（徐匯、松江、金山區(qū)高三二模）如圖所示：在直三棱柱中，，,則平面與平面所成的二面角的大小為 9、（長寧、嘉定區(qū)高三二模）在四棱錐中，，分別為側棱，的中點，則四面體的體積與四棱錐的體積之比為………………（ ） A． B． C． D． 10、（奉賢區(qū)高三上期末）如圖，在矩形中，為邊的中點，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉一周，則所形成的幾何體的體積為 11、（黃浦區(qū)高三上

4、期末）已知某圓錐體的底面半徑，沿圓錐體的母線把側面展開后得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是　　　　 12、（金山區(qū)高三上期末）如圖所示，在長方體ABCD–EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M為矩形AEHD內的一點，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值為，那么點M到平面EFGH的距離是 ▲ 13、（浦東區(qū)高三上期末）如圖，已知平面，，，,、分別是、的中點. 則異面直線與所成角的大小為 . P C D E 14、（松江區(qū)高三上期末）在正四棱柱中，與平面所成的角為，則與所成的角為 ▲ （結果用反三角函數表示

5、）． 15、（寶山區(qū)高三上期末）正四棱錐的所有棱長均相等，是的中點，那么異面直線與所成的角的余弦值等于 二、解答題 1、（上海高考）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分別是AB、BC的中點，證明A1、C1、F、E四點共面，并求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大?。? 2、（上海高考）底面邊長為的正三棱錐，其表面展開圖是三角形，如圖. 求的各邊長及此三棱錐的體積. 3、（上海高考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面

6、DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離. 4、（靜安、青浦、寶山區(qū)高三二模）如圖，在直三棱柱中，已知，⊥． （1）求四棱錐的體積； （2）求二面角的大?。? P S A Q O B 5、（閔行區(qū)高三二模）如圖，已知圓錐的底面半徑為，點Q為半圓弧的中點，點為母線的中點．若直線與所成的角為，求此圓錐的表面積． 6、（浦東新區(qū)高三二模） 如圖，在四棱錐中，底面正方形的邊長為， 底面, 為的中點，與平面所成的角為． （1） 求異面直線與所成角的

7、大?。ńY果用反三角函數表示）； （2）求點到平面的距離． 7、（徐匯、松江、金山區(qū)高三二模）如圖，在中，，斜邊，是的中點．現將以直角邊為軸旋轉一周得到一個圓錐，點為圓錐底面圓周上的一點，且． （1）求該圓錐的全面積； （2）求異面直線與所成角的大小． （結果用反三角函數值表示） 8、（長寧、嘉定區(qū)高三二模）如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，，，為的中點． （1）求證：平面； （2）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值． E P A C D B 9、（青浦區(qū)高三上期末）第19題圖 如圖

8、所示，在長方體中，，， ，為棱上一點. （1）若，求異面直線和所成角的正切值； （2）若，求證平面. 10、（松江區(qū)高三上期末）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時。如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計)． （1）如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個沙時為多少秒（精確到1秒）？ （2）細沙全部漏入下部后，恰好堆成個一蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，

9、求此錐形沙堆的高度（精確到0.1cm）． 11、（徐匯區(qū)高三上期末）如圖所示，某傳動裝置由兩個陀螺組成，陀螺之間沒有滑動．每個陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個部分構成，每個圓柱的底面半徑和高都是相應圓錐底面半徑的，且的軸相互垂直，它們相接觸的直線與的軸所成角．若陀螺中圓錐的底面半徑為． （1）求陀螺的體積； （2）當陀螺轉動一圈時，陀螺中圓錐底面圓周上一點轉動到點，求與之間的距離． 12、（上海市八校高三3月聯考）如圖：將圓柱的側面沿母線展開，得到一個長為，寬為的矩形。 （1）求此圓柱的體積； （2）由點拉一根細繩繞圓柱側面兩周到達，

10、求繩長的最小值（繩粗忽略不計）。 13、（嘉定區(qū)高三上期末）F C A E B A1 C1 B1 如圖，在直三棱柱中，，，點、分別為棱與的中點． （1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成角的大小． 14、（靜安區(qū)高三上期末）如圖，長方體中，，，點為面的對角線上的動點（不包括端點）.平面交于點，于點. （1）設，將長表示為的函數； A B C D A1 B1 C1 D1 P M N （2）當最小時，求異面直線與所成角的大小. （結果用反三角函數值表示） 15、（普陀區(qū)高三上期

11、末）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）. （1）若釘身長度是釘帽高度的2倍，求鉚釘的表面積； （2）若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結果精確到mm）. 19 38 20 圖1 38 12 12 19 20 圖2 參考答案 一、填空、選擇題 1、解：設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，則圓錐的側面積為：πrl， 過軸的截面面

12、積為：rh，∵圓錐的側面積與過軸的截面面積之比為2π，∴l(xiāng)=2h， 設母線與軸的夾角為θ，則cosθ==，故θ=， 故答案為：． 2、【解析】：設圓錐母線長為，底面圓半徑為，∵，∴，即，∴，即母線與底面夾角大小為 3、【解答】根據提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為． 4、5　　　5、C　　6、　　7、　　　8、　　9、C 10、　　11、　　12、　13、（） 14、　　15、 二、解答題 1、解：連接AC，因為E，F分別是AB，BC的中點，所以

13、EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC．由長方體的性質知AC∥A1C1， 所以EF∥A1C1， 所以A1、C1、F、E四點共面． 以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為xyz軸，建立空間直角坐標系，易求得 ， 設平面A1C1EF的法向量為 則，所以，即， z=1，得x=1，y=1，所以， 所以=， 所以直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大小arcsin． 2、【解析】：根據題意可得共線， ∵，， ∴，∴，同理， ∴△是等邊三角形，是正四面體，所以△邊長為4； ∴ 3、【解答】因為ABCD

14、-A1B1C1D1為長方體，故， 故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設為 考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得 而中，，故 所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為． 4、解：（理科）(1)因為⊥，三棱柱是直三棱柱，所以，從而是四棱錐的高. ……………………………………2分 四棱錐的體積為…………………………4分 （2）如圖（圖略），建立空間直角坐標系． 則A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2）， B1（0，0，2），C1（0

15、，2，2）， …………………………………………………6分 設AC的中點為M， 是平面A1C1C的一個法向量． 設平面A1B1C的一個法向量是， …8分 令z=1，解得x=0，y=1．， …………………………………………9分 設法向量與的夾角為，二面角B1—A1C—C1的大小為，顯然為銳角． ………………………………………………12分 5、[解] 取OA的中點M,連接PM,又點P為母線的中點 P S A Q O B M 所以，故為與所成的角．………………………2分 在中，，，………………………4分 由點Q為半圓弧的中點知 ， 在中， 故，所以，．

16、 ………………………8分 所以，………………10分 ．…………………………………12分 6、解：方法１,（1）因為底面為邊長為的正方形，底面, 則 平面， 所以就是與平面所成的角．……………………………………………2分 在中，由，得，…………………………3分 在中，．分別取、的中點、，聯結、、， P A B C D E M N 則異面直線與所成角或補角．……………4分 在中，，，，由余弦定理得，， 所以，…………………………6分 即異面直線與所成角的大小為．……7分 （2）設點到平面的距離為，因為，…………………………9分 所以，，得．…………………

17、…………14分 方法２，（1） 如圖所示，建立空間直角坐標系，同方法１，得，……………3分 P A B C D E x y z 則有關點的坐標分別為，，，．………………………5分 所以，．設為異面直線與所成角， 則， 所以，， 即異面直線與所成角的大小為．…………………………………7分 （2）因為，，，設， 則由，………………………………………………11分 可得，所以．……………………………………14分 7、解：（1）在中，，即圓錐底面半徑為2 B C D A O z x y 圓錐的側面積………………..4’ 故圓錐的全面積……………

18、….6’ （2）解法一：如圖建立空間直角坐標系． 則 ………………..8’ 設與所成角為 則………………..10’ 異面直線與所成角為………………..12’ 解法二：過作交于，連 則為異面直線與所成角………………..8’ 在中， 是的中點 是的中點 在中，，………………..10’ ，即異面直線與所成角的大小為……………….12’ 8、E P A C D B （1）連結，由已知得△與△都是正三角形， 所以，，， ………………（1分） 因為∥，所以，……………（2分） 又平面，所以，……（4分） 因為，所以平面．…（6分）

19、（2）以為原點，，，所在直線 分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系． 由（1）知平面的一個法向量為， 又，，，， 所以，，……（2分） E P A C D B z x y 設平面的一個法向量為， 由得 取，則，故， …………（4分） 設與的夾角為， 則．…………（7分） 所以，平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值為．……（8分） （2）解法二（圖略） 在平面上，過作∥且，連結，則四邊形是平行四邊形，即直線是平面與平面的交線．………………（2分） 因為，，所以平面，故， 所以，又，所以就是平面與平面所成二面角的平面角． …………（5分） 在△中，

20、，，…………（6分） ． ……………………（7分） 所以，平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值為．……（8分） 9、解:（1）由題意，，，得………… 1分 ，所以異面直線和所成角即為和所成角 ………… 3分 長方體中，，面， ，故可得為銳角且…………………… 6分 （2）由題意，，， ，，即 ……………………………… 8分 又由面可得 ………………………………………… 10分 故平面. ………………………………………………………………12分 102、解（1）開始時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高 為，底面半徑為……………2

21、分 39.71……………5分 （秒） 所以，沙全部漏入下部約需1986秒。……………7分 （2）細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑4，……………9分 設高為 ……………12分 錐形沙堆的高度約為2.4cm. ……………14分22． 11、解：（1）設陀螺圓錐的高為，則，即……………………..2’ 得陀螺圓柱的底面半徑和高為……………………..3’ ……………………..5’ ……………………..7’ ……………………..8’ （2）設陀螺圓錐底面圓心為， 則，……………………..10’ 得……………………..12’ 在中，……………………..14’ 12、

22、（1）設圓柱的底面半徑為，高為，則，即---------2分 --------5分 （2）設中點為，側面展開圖矩形為，中點為。則繩長的最小值即為側面展開圖中的。 -------7分 。 -------10分 所以繩長的最小值為。 -------12分 13、（1）． ……（5分） （參考

23、答案只給出最后結果，如果結果錯誤，可視中間步驟適當給分） （2）取中點，聯結，，則∥， ………（1分） 所以，是異面直線與所成的角（或其補角）， …………（2分） 在△中，，， ………………………（4分） 所以，，故． ……（6分） 所以，異面直線與所成角的大小為． ………………………（7分） 14、（1）在△中，，； ………………………（ 2分） 其中； ………………………（ 3分） 在△中，， …………………………（ 4分） 在△中，，……………………………（ 6分） （2）當時，最小，此時．……………………………（8分） 因為在底面中，，所以，又，為異面直線與所成角的平面角，…………………（ 11分） 在△中，為直角，，所以， 異面直線與所成角的大?。ɑ虻龋?14分） 15、設釘身的高為，釘身的底面半徑為，釘帽的底面半徑為，由題意可知：……1分 （1） 圓柱的高……2分 圓柱的側面積……3分 半球的表面積……5分 所以鉚釘的表面積()……7分 （2）……8分 ……9分 設釘身長度為，則……10分 由于,所以，……12分 解得……13分 答：釘身的表面積為，釘身的長度約為。