2019-2020年高中數學選修2-1雙曲線的標準方程.doc

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2019-2020年高中數學選修2-1雙曲線的標準方程 教學目標 （1）了解雙曲線的標準方程，能根據已知條件求雙曲線的標準方程； （2）能用雙曲線的標準方程處理簡單的實際問題． 教學重點，難點 （1）重點：雙曲線的定義、標準方程； （2）難點：靈活運用定義和待定系數法求雙曲線的標準方程． 教學過程 一．問題情境 1．情境： 我們知道，橢圓上的點到兩個定點的距離的和等于常數．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為． 2．問題： 雙曲線上的點到兩個定點距離的差的絕對值等于常數，那么，雙曲線的標準方程是什么形式呢？ 二．學生活動 設雙曲線的焦距為，雙曲線上任意一點到焦點，的距離的差的絕對值等于常數． 以，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系（如圖），則，的坐標分別為． 設為雙曲線上任意義點，根據雙曲線定義知，即．化簡，得． ∵，∴令，得，兩邊除以，得． 由上述過程可知，雙曲線上的點的坐標都滿足上面這個方程，并且滿足上面這個方程的點都在已知的雙曲線上． 三．建構數學 雙曲線的標準方程： 焦點在軸上的雙曲線的標準方程：， 焦點在軸上的雙曲線的標準方程：其中 思考：怎樣推導出焦點在軸上的雙曲線標準方程？ 說明：（1）雙曲線的標準方程是與選擇的坐標系有關的，當且僅當選擇對稱軸為坐標軸時有其標準形式． （2）兩個標準方程的區(qū)別：與的系數符號決定了焦點所在的坐標軸，當系數為正時焦點在軸上，當的系數為正時焦點在軸上，而與分母的大小無關． （3）以坐標軸為對稱軸的雙曲線可用方程表示． 四．數學運用 1．例題： 例1．已知雙曲線的兩個焦點分別為，雙曲線上一點到，的距離的差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程． 解 由題意，可設雙曲線的標準方程為． 因為 ，所以 因而所求雙曲線的標準方程為． [變式]將條件中絕對值去掉，求雙曲線的標準方程． 例2．求適合下列條件的雙曲線的標準方程： （1），焦點在軸上； （2），經過點，焦點在軸上． 解 （1）依題意，且焦點在軸上，所以雙曲線方程為 （2）焦點在軸上的雙曲線方程可設為，由，且經過點，可得解得．因此，所求雙曲線的方程為． [變式]上題可不明確焦點所在的坐標軸． 例3．已知兩地相距，一炮彈在某處爆炸，在處聽到爆炸聲的時間比在處遲，設聲速為．（1）爆炸點在什么曲線上？（2）求這條曲線的方程． 解 （1）設為爆炸點，由題意得．因為爆炸點離點比離點距離更遠，所以爆炸點在以為焦點且距較近的雙曲線的一支上．（如圖） （2）如右圖，以直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標系．設為曲線上一點．由，得．由，得．∴． ∵，∴． 因此，所求曲線的方程為． 五．回顧小結： 1．雙曲線的標準方程； 2．用定義和待定系數法求雙曲線的方程．