《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件,醫(yī)用高等數(shù)學(xué),醫(yī)用,高等數(shù)學(xué),教學(xué),課件 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)多媒體教學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)多媒體教學(xué)課件制作課件制作制作者 吳靜1第二節(jié)概率計(jì)算的基本公式一.概率的加法公式二.條件概率和乘法公式三.隨機(jī)事件的獨(dú)立性四.全概率公式和逆概率公式五.貝努里概型2一.概率的加法公式:定理1：設(shè)A、B任意兩個(gè)事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)ABUAB推導(dǎo)：設(shè)基本事件總數(shù)為N，事件A，B，AB包含基本事件數(shù)分別為M1，M2，K。3P(AB)=V,P(AB)=0BAUP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)（A，B為任意事件）推論1.若A,B是互不相容的事件,則P(A+B)=P(A)+P(B)4AP(A+B)=P(A)+P(B)（A，B互斥）推論推論2.2.對(duì)任一事件對(duì)任一事件A A，有有5BAU 證證:A=A-B+B,A=A-B+B,P(A-B)=P(A)-P(B)P(A-B)=P(A)-P(B)(A-B)(A-B)與與B B 是是互斥互斥的的P(A)=P(A-B)+P(B)P(A)=P(A-B)+P(B)6例例:一盒生物制品針劑共一盒生物制品針劑共10支支,若知其中有若知其中有4支已過(guò)期支已過(guò)期,若從這盒針劑若從這盒針劑中中隨機(jī)抽取兩支隨機(jī)抽取兩支.求其中有已過(guò)期針劑的概率求其中有已過(guò)期針劑的概率.(或求取到的兩支針劑中至少有一支已過(guò)期的概率或求取到的兩支針劑中至少有一支已過(guò)期的概率.解解:設(shè)設(shè)Ai=抽取的兩支中恰有抽取的兩支中恰有i支針劑已過(guò)期支針劑已過(guò)期,(i=0,1,2).A=抽取的兩支中抽取的兩支中,其中有已過(guò)期針劑其中有已過(guò)期針劑即抽取兩支中有過(guò)期針劑的概率為即抽取兩支中有過(guò)期針劑的概率為0.67.0.67.則則A=AA=A1 1+A+A2 2,且且A A1 1A A2 2=V(=V(互斥）互斥）P(AP(A1 1)=C)=C1 14 4C C1 16 6/C/C2 21010P(A)=P(AP(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)=24/45+6/45=30/450.67=24/45+6/45=30/450.67P(AP(A2 2)=C)=C2 24 4C C0 06 6/C/C2 21010=24/450.533,=24/450.533,=6/450133=6/4501337例例:一盒生物制品針劑共一盒生物制品針劑共10支支,若知其中有若知其中有4支已過(guò)期支已過(guò)期,若從這盒針劑若從這盒針劑中隨機(jī)抽取兩支中隨機(jī)抽取兩支.求其中有未過(guò)期針劑的概率求其中有未過(guò)期針劑的概率.(或求取到的兩支針劑中至少有一支未過(guò)期的概率或求取到的兩支針劑中至少有一支未過(guò)期的概率)解解:設(shè)設(shè)B BJ J=抽取的兩支中恰有抽取的兩支中恰有j j支未過(guò)期針劑支未過(guò)期針劑,(,(j=0,1,2)j=0,1,2)B=B=抽取的兩支中抽取的兩支中,有未過(guò)期針劑有未過(guò)期針劑則則B=BB=B1 1+B+B2 2,且且B B1 1B B2 2=V(=V(互斥）互斥）即抽取兩支中有未過(guò)期針劑的概率為即抽取兩支中有未過(guò)期針劑的概率為0.67.P(BP(B1 1)=C)=C1 16 6C C1 14 4/C/C2 21010P(B)=P(BP(B)=P(B1 1)+P(B)+P(B2 2)=24/45+15/45=39/450.87=24/45+15/45=39/450.87P(BP(B2 2)=C)=C2 26 6C C0 04 4/C/C2 21010=24/450.533,=24/450.533,=15/450.333=15/450.3338例例:一盒生物制品針劑共一盒生物制品針劑共10支支,若知其中有若知其中有4支已過(guò)期支已過(guò)期,若從這盒針劑若從這盒針劑中隨機(jī)抽取兩支中隨機(jī)抽取兩支.求其中有已過(guò)期針劑的概率求其中有已過(guò)期針劑的概率.求其中有未過(guò)期針劑的概率求其中有未過(guò)期針劑的概率.法二法二:A=A=抽取的兩支中其中有已過(guò)期針劑抽取的兩支中其中有已過(guò)期針劑 B=B=抽取的兩支中其中有未過(guò)期針劑抽取的兩支中其中有未過(guò)期針劑 9 A2UA1 A2UA1兩藥合用的有效作用P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)-P(A1 A2)10B1B2UB1B2U兩藥合用的副作用P(B1UB2)=P(B1)+P(B2)-P(B1 B2)11二二.條件概率和乘法公式條件概率和乘法公式:1.1.條件概率條件概率:在事件在事件A A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下,隨機(jī)事件隨機(jī)事件B B發(fā)生的概率發(fā)生的概率 稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件B B對(duì)事件對(duì)事件A A的條件概率的條件概率.記作記作P(B/P(B/A A).).注:這時(shí)事件A確定性事件12例例:某藥檢所有送檢的藥物某藥檢所有送檢的藥物1010件件,已知其中有已知其中有3 3件次品件次品,現(xiàn)從中取二次現(xiàn)從中取二次,每次任取一件每次任取一件,作不放回抽樣作不放回抽樣,問(wèn)問(wèn):第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少?解解:設(shè)設(shè)A=A=第一次取到次品第一次取到次品,B=B=第二次取到次品第二次取到次品,P(B/A)=2/9P(B/A)=2/9條件概率條件概率P(B/A)=?P(B/A)=?題目所要求的是：題目所要求的是：那么P(B/A)是否等于P(B)?下面我們來(lái)計(jì)算P(B)13例例:某藥檢所有送檢的藥物某藥檢所有送檢的藥物1010件件,已知其中有已知其中有3 3件次品件次品,現(xiàn)從中取二次現(xiàn)從中取二次,每次任取一件每次任取一件,作不放回抽樣作不放回抽樣,問(wèn)問(wèn):第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少?解:設(shè)A=第一次取到次品,B=第二次取到次品,（注：當(dāng)A,B是獨(dú)立事件時(shí),P(B/A)=P(B)，后面會(huì)講 那么P(B/A)的計(jì)算公式應(yīng)為什么形式?P(B/A)=2/9P(B/A)=2/9UABAB且由此可見(jiàn) P(B/A)P(B).P(B/A)P(B).下面的定理就給出了P(B/A)的求解公式。14條條件件概概率率定定義義推導(dǎo)：設(shè)基本事件總數(shù)為N，事件A，B，AB所包含 基本事件數(shù)為MA，MB，MAB15例:某藥檢所有送檢的藥物10件,已知其中有3件次品,現(xiàn)從中取二次,每次任取一件,作不放回抽樣,問(wèn):第一次取到次品后第二次再取到次品的概率是多少?解一):P(B/A)=2/9(前面已解過(guò))解二）利用條件概率定義得：16在樣本空間U的縮減樣本空間UA中計(jì)算B發(fā)生的概率 就得到P(B/A),P(B/A)=MAB/MA (例如上例解一)小結(jié):由條件概率的定義和計(jì)算公式可知:計(jì)算條件概率P(B/A)有兩種方法:在樣本空間U中,先計(jì)算P(AB),P(A),再由公式 P(B/A)=P(AB)/P(A）求得P(B/A).(例如上例解二)17例:設(shè)在一只盒子中混有新舊二種乒乓球,在新乒乓球中有白色的40只,紅色的30只,在舊乒乓球中有白色的20只,紅色的10只,列表如下:類(lèi)顏 色 W（白色）R（紅色）N（新）O（舊）共 計(jì)403020106040共 計(jì)7030100在盒中任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的,問(wèn)這個(gè)球是白色的概率是多少?解一):依題意知,所要求的是P(W/N),縮減的樣本空間UN中考慮:P(W/N)=40/70=4/7解二):在原來(lái)的樣本空間UN+O考慮:(利用定義)18例:某種動(dòng)物由出生算起活20年以上的概率為0.8,活25年以上的概率為0.5,問(wèn)現(xiàn)年20歲的動(dòng)物活到25歲的概率是多少?ABUP(B/A)=P(AB)/P(A)=0.5/0.8=5/8 解:設(shè)A=這種動(dòng)物活20年以上 B=這種動(dòng)物活25年以上求的是P(B/A).依題意知:P(A)=0.8,P(B)=0.5P(AB)=P(B)=0.5B,由于 AU 所以 AB=B192.概率的乘法公式:(由條件概率公式得來(lái)）定理:條件定理:20例:設(shè)在一盒中裝有10支針劑，其中3支次品，7支正品，在其中取兩次,每次任取一支,作不放回抽樣,問(wèn)兩次都拿到次品針劑的概率是多少?解一）解一）:設(shè)設(shè)A=A=第一次取到的是次品針劑第一次取到的是次品針劑 B=B=第二次取到的是次品針劑第二次取到的是次品針劑解二解二):):利用古典概型利用古典概型:N=10N=109,M=39,M=32 2依題意有依題意有:P(A)=3/10,P(B/A)=2/9P(A)=3/10,P(B/A)=2/9所求概率為所求概率為:P(AB)=P(A)P(B/A)P(AB)=P(A)P(B/A)21區(qū)別:P(B):P(B):P(B/A):P(B/A):P(AB):P(AB):是針對(duì)原來(lái)的樣本空間U,沒(méi)有附加條件下事件B發(fā)生的概率是在“A已發(fā)生”附加條件下B事件發(fā)生的概率,事件B是隨機(jī)的,是針對(duì)縮小的樣本空間MA。（A,B事件都發(fā)生,但是以事件A發(fā)生為其前提條件，“事件A已發(fā)生”是確定性事件）表示A,B兩事件都發(fā)生,沒(méi)有附加條件,A,B事件都是隨機(jī)的P(B)=MP(B)=MB B/N/NP(B/A)=MP(B/A)=MABAB/M/MA AP(AB)=MP(AB)=MABAB/N/N22 從例子可知,一般情況下 P(B/A)P(B)P(B/A)P(B)即事件A已發(fā)生的信息會(huì)影響事件B出現(xiàn)的機(jī)會(huì),但有些情況下 P(B/A)=P(B),P(B/A)=P(B),即事件A的發(fā)生與否不會(huì)影響另一事件B發(fā)生的概率,這時(shí)我們稱(chēng)事件B獨(dú)立于事件A.23由此可見(jiàn):獨(dú)立性是相互的.三隨機(jī)事件的獨(dú)立性設(shè)A,B是隨機(jī)事件,如果P(B/A)=P(B),則稱(chēng)B獨(dú)立于A證P(AB)=P(A)P(B/A)=P(A/B)P(B)若P(B)0,P(B/A)=P(B),兩邊同除以P(B)得:P(A/B)=P(A).即此時(shí)事件A也獨(dú)立于B.24定理:事件A與事件B相互獨(dú)立的充分必要條件是 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B),推導(dǎo) A,B相互獨(dú)立,則有P(B/A)=P(B)，P(A/B)=P(A)又P(AB)=P(B/A)P(A)=P(A/B)P(B)反之可推出A,B相互獨(dú)立.25P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)要想從定義出發(fā)判斷n個(gè)事件的獨(dú)立性是相當(dāng)麻煩的,實(shí)際工作中常常只概據(jù)諸事件的實(shí)際意義去判斷由事件的獨(dú)立性可直接推出下列命題:1.若事件A,B相互獨(dú)立,則2.若A,B相互獨(dú)立,則與B，A與，與 均相互獨(dú)立（自行證明）3.三個(gè)事件A,B,C,若同時(shí)成立下列四等式,則稱(chēng)它們是相互獨(dú)立若幾個(gè)事件A1,A2,.An相互獨(dú)立,則P(A1A2.An)=P(Ai)26試證明若A,B相互獨(dú)立,則與B，A與，與 均相互獨(dú)立BAABU同理可證：證明:P(A)27例:試根據(jù)下表判斷色盲與耳聾這兩種病之間是否聯(lián)系,(注:除合計(jì)欄外,表中數(shù)字均為所對(duì)的行,列兩事件積的概率)耳聾與色盲統(tǒng)計(jì)聾(A)合計(jì)色盲(B)合計(jì)0.00040.00460.00500.07960.91540.99500.08000.92001.0000解:分析:若二者不是相互獨(dú)立,就說(shuō)它們有內(nèi)在聯(lián)系,則有P(AB)P(A)P(B)若二者相互獨(dú)立,可認(rèn)為彼此沒(méi)有關(guān)系,則有P(AB)=P(A)P(B由此可判斷色盲與耳聾是相互獨(dú)立的,即二者之間沒(méi)有關(guān)系 非聾()非色盲()由表中可知:P(A)=0.005,P(B)=0.08,P(AB)=0.0004P(A)P(B)=0.0050.008=0.0004 P(A)P(B)=P(AB)28例:某醫(yī)院用CT機(jī)和超聲儀對(duì)肝癌作檢測(cè),若單獨(dú)使用這兩種設(shè)備,知CT機(jī)的檢出率為0.8,超聲儀的檢出率為0.7,現(xiàn)同時(shí)使用CT和超聲儀,問(wèn)肝癌被檢出的概率是多少?P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.80.7=0.94.解二):設(shè) =肝癌未被CT檢出,=肝癌未被超聲儀檢出顯然 =肝癌沒(méi)有被CT也沒(méi)有被超聲儀檢出檢出,A,B是相互獨(dú)立的,也是相互獨(dú)立的,=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94解一):設(shè)A=肝癌被CT檢出B=肝癌被超聲儀檢出則“肝癌被檢出”就是這兩事件的和,即A+B,概據(jù)概率加法公式有:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)又A,B是相互獨(dú)立的(A,B也是相容的事件)P(AB)=P(A)P(B)29 互逆 互斥 注意區(qū)別:以下不同的概念相互獨(dú)立:互不相容(互斥):互相對(duì)立(互逆):A,B兩事件中一事件的概率不隨另一事件的發(fā)生與否而改變即:P(AB)=P(A)P(B),P(A/B)=P(A),P(B/A)=P(B)A,B兩事件必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生,即AB=V,P(AB)=0.A,B兩事件必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生,即 A+B=U,AB=V,P(AB)=0,P(A)+P(B)=1.30正確的解法:雖然A1,A2,.A10 不是互斥的,但它們卻是相互獨(dú)立的,那么它們的對(duì)立事件A1,A2,.A10 也是相互獨(dú)立的,則 P(A)=P(A1+A2+.+A10)=1-例:假如每人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,設(shè)事件AI=第 i人的血清中含有肝炎病毒,那么由10人的血清混和后的血清中含有肝炎病毒的概率為多少?解:如下的解法是否正確:只要10人中有1人的血清中含有肝炎病毒,那么10人的血清混合后的血清就含有肝炎病毒.設(shè)A=由10人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒.則A=Ai=A1+A2+.+A10 P(A)=P(A1)+P(A2)+.+P(A10)=0.4%10=4%錯(cuò)誤的原因:P(A)=P(A1)+P(A2)+.+P(A10)只適用于A1,A2,.A10是兩兩互不相容的情況,而事實(shí)上允許A1,A2,.A10 同時(shí)出現(xiàn).=1-(1-0.4%)10=1-0.99610.由此可見(jiàn):互斥與相互獨(dú)立是不同的兩種概念31例:設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問(wèn)至少進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊 才能使擊中目標(biāo)的概率不小于0.9?解:設(shè)至少射擊n次,以Ai(i=1,2,.,n)表示第 i次射擊擊中的事件.A=至少進(jìn)行n次獨(dú)立射擊,目標(biāo)才被擊中,則 A=A1+A2+.+An,A1,A2,.,An是相互獨(dú)立,依題意有:1-0.8n0.9,即0.8n0.1nln0.1/ln0.810.3所以至少進(jìn)行11次射擊,才能有90%以上的把握擊中目標(biāo).(對(duì)偶原則)也是相互獨(dú)立的.依題意有32UBA1A2AiAn四.全概率公式和逆概率公式:1.全概率公式:證明:B=BA1+BA2+.+BAn且BAi兩兩互不相容,由加法和乘法公式得:P(B)=P(BA1+BA2+.+BAn)=P(BA1)+.+P(BAn)=P(A1)P(B/A1)+.+P(An)P(B/An)=P(Ai)P(B/Ai)定理:設(shè)A1,A2,.An兩兩互不相容,且P(Ai)0,若B A1+A2+.+An,則:含義:AiAj=V(ij,i,j=1,2,.,n)P(Ai)0 B A1+A2+.+An 33全概率公式非常重要,對(duì)于一些復(fù)雜事件,不好求它的概率,利用全概率公式把它轉(zhuǎn)化為一組事件的和事件,概率就好求了.怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢?如何找A1,A2,.,An(這是難點(diǎn))?34關(guān)鍵是找互不相容事件A1,A2,.An，使得B=BA1+.+BAn,只要用一次加法公式和乘法公式便得到全概率公式.1.怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢?UBA1A2AiAn352.如何找A1,A2,.,An(這是難點(diǎn))?一般地說(shuō),公式中的條件可等價(jià)地改寫(xiě)成“事件B能僅能與A1,A2,.,An 之一同時(shí)發(fā)生“,即把事件上組A1,A2,.,An看成導(dǎo)致B發(fā)生的 一個(gè)原因,而這些原因的概率是已知的或能求出的,用找原因的方法求B1,B2,.,Bn比較方便.對(duì)于一個(gè)復(fù)合試驗(yàn),如果要求的概率是最后一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 的一個(gè)概率,則可把倒數(shù)第二個(gè)試驗(yàn)的樣本空間進(jìn)行劃分.36解:若在全廠產(chǎn)品中任抽一件 設(shè)A1=抽得甲車(chē)間產(chǎn)品,A2=抽得乙車(chē)間產(chǎn)品,A3=抽得丙車(chē)間產(chǎn)品,B=抽得次品.例:某藥廠有甲,乙,丙三個(gè)車(chē)間,生產(chǎn)同一種藥品,各車(chē)間產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%,35%,40%,各車(chē)間的次品率分別為1%,1.5%,2%,求全廠的次品率.P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)依題意有:P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.40.某車(chē)間的次品率是指“在抽得的產(chǎn)品是屬于該車(chē)間的條件下它又是次品”的條件概率.由全概率公式得全廠的次品率為:=0.250.01+0.350.015+0.400.02=0.016.故有:P(B/A1)=0.01,P(B/A2)=0.015,P(B/A3)=0.02.U BA1A2A3372.逆概率公式:(貝葉斯Bayes公式)設(shè)A1,A2,.,An和B滿足全概率公式的諸條件,且P(B)0,則有:P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/P(Ai)P(B/Ai)證明:P(AiB)=P(B)P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)貝葉斯的實(shí)際意義是:假設(shè)有n個(gè)互不相容的原因A1,A2,.,An可引起某種“現(xiàn)象B”發(fā)生,若該現(xiàn)象B已經(jīng)發(fā)生,利用貝葉斯公式可以知道由某一個(gè)原因Ai(i=1,2,.,n)所引起的可能性有多大.如果能找到某個(gè)Aj,使得P(Ai/B)=maxP(Ai/B),則Aj就是引起“現(xiàn)象B”的最可能的原因.P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/P(Ai)P(B/Ai)38例:某藥廠有甲,乙,丙三個(gè)車(chē)間,生產(chǎn)同一種藥品,各車(chē)間產(chǎn)量分別 占全廠產(chǎn)量的25%,35%,40%,各車(chē)間的次品率分別為1%,1.5%,2%,求如果從全廠的該藥品中抽出1個(gè)次品,它恰好是甲(乙或丙)生產(chǎn) 的概率各為多少?(所以該次品最有可能是甲車(chē)間生)P(A1/B)=P(A1B)/P(B)P(A2/B)=P(B/A2)P(A2)/P(A2)P(A3/B)=P(B/A3)P(A3)/P(A3)解:若在全廠產(chǎn)品中任抽一件 已求P(B)=0.016 設(shè)A1=抽得甲車(chē)間產(chǎn)品,A2=抽得乙車(chē)間產(chǎn)品,A3=抽得丙車(chē)間產(chǎn)品,B=抽得次品.=0.010.25/0.0160.16=P(B/A1)P(A1)/P(Ai)P(B/Ai)=0.0150.35/0.0160.33=0.020.4/0.0160.5.39在診病問(wèn)題中,如果從病理和前期的經(jīng)驗(yàn)積累中,知道有多種病因(A1+.+An),假設(shè)這多種病因構(gòu)成一完備事件組)會(huì)產(chǎn)生某種癥狀,并且知道這些病因的概率,而在一次診病中,某病人出現(xiàn)了該病狀,問(wèn)其可能最大的病因是什么?(比較P(Ai/B),.P(An/B)哪個(gè)大?)類(lèi)似這樣的例子,在理論和實(shí)際中常會(huì)碰到,解決這類(lèi)問(wèn)題就是用貝葉斯公式.40例.公安人員在某處發(fā)現(xiàn)一具女尸,根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)分析,兇手 還在某地的概率為0.4,乘車(chē)外逃的概率為0.5,自首歸 案的概率為0.1,今派人跟蹤追捕,因?yàn)樵谀车毓膊块T(mén) 力量強(qiáng),容易抓到兇手的概率為90%,外逃處人員復(fù)雜，抓獲兇手的概率為50%，問(wèn)兇手在某地或外逃處被抓獲的概率是多少？解：設(shè)A1=兇手在某地,A2=兇手乘車(chē)外逃，A3=兇手自首歸案,B=兇手在某地或外逃處被抓獲依題意得：P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.1P(B/A1)=90%,P(B/A2)=50%,P(B/A3)=0(不求自首歸案)A1A2=V,A1A3=V,A2A3=V 由全概率公式得:=90%0.4+50%0.5+00.1=0.6141五.貝努里概型:一.貝努里概型:二.二項(xiàng)概率公式：42一.貝努里概型:1.n重貝努里試驗(yàn):在同等條件下,將某一試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次,如果每次試驗(yàn)只有 與 兩種可能結(jié)果,而且每次試驗(yàn)的結(jié)果都與其他各次試驗(yàn)的結(jié)果無(wú)關(guān),則稱(chēng)這種試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).432.貝努里概型:所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為貝努里概型.N重貝努里概型特點(diǎn):例如某人“進(jìn)行n次獨(dú)立射擊”,即為n重貝努里試驗(yàn),獨(dú)立試驗(yàn)(n次)單次試驗(yàn)僅考慮兩個(gè)對(duì)立結(jié)果 與 因?yàn)閚次射擊是獨(dú)立進(jìn)行的,每次結(jié)果只有“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)”兩種可能結(jié)果.44依題意知 P(A)=0.6,P()=1-0.6=0.4求5個(gè)病人中治愈0個(gè)(即全部無(wú)效)的概率:由于試驗(yàn)的獨(dú)立性,由乘法定理得:例:根據(jù)以往的臨床資料統(tǒng)計(jì),某種藥物對(duì)某一疾病的治愈率是60%,現(xiàn)用這種藥物治療5個(gè)病人,問(wèn)治愈0,1,2,3,4,5個(gè)病人的概率各是多少?解:我們將治療5個(gè)病人看作是5次獨(dú)立試驗(yàn),每次試驗(yàn)是對(duì)一個(gè)病人作治療,其結(jié)果可能是治愈(記作事件A),也可能是無(wú)效(記作事件 ),(這里我們只考慮治愈與無(wú)效兩種可能情況),顯然屬貝努里概型.=0.45=0.0102求5個(gè)病人中治愈1個(gè)(即4個(gè)無(wú)效)的概率:治愈1個(gè)而4個(gè)無(wú)效有下列不同的組合方式:即共有C51種可能情況.每種的概率都是:=0.610.44(獨(dú)立性)45例:根據(jù)以往的臨床資料統(tǒng)計(jì),某種藥物對(duì)某一疾病的治愈率是60%,現(xiàn)用這種藥物治療5個(gè)病人,問(wèn)治愈0,1,2,3,4,5個(gè)病人的概率各是多少?P5(2)=C520.620.43=0.2304P5(3)=C530.630.42=0.3456.P5(4)=C540.640.41=0.2592.P5(5)=C550.650.40=0.0778.這6個(gè)概率的和為1.即P5(0)+P5(1)+P5(2)+P5(3)+P5(4)+P5(5)=1解:求5個(gè)病人中治愈1個(gè)(即4個(gè)無(wú)效)的概率 :由于這5種試驗(yàn)結(jié)果是兩兩互不相容的,由加法定理得:=C510.610.44=0.0768治愈其中2個(gè)而無(wú)效3個(gè)的概率為:治愈其中3個(gè)而無(wú)效2個(gè)的概率為:治愈其中4相而無(wú)效1個(gè)的概率為:5個(gè)病人全部治愈的概率為:46二.二項(xiàng)概率公式:其中q=1-p是事件A在每次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率.系數(shù)Cnk是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的組合數(shù).由于事件A發(fā)生的次數(shù)k的可能取值是k=0,1,2,.,n.在n次獨(dú)立試驗(yàn)中,若試驗(yàn)只考慮2種可能結(jié)果A和 ,且隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是P,則事件A發(fā)生k次的概率為:P Pn n(k(k)=)=C Cn nk k P PK K q qn-kn-k (二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式)47由此看出CnkPkqn-k恰好是二項(xiàng)式(P+Q)n展開(kāi)后的第k+1項(xiàng),所以將上式公式稱(chēng)為二項(xiàng)概率公式.P Pn n(k(k)=)=C Cn nk k P PK K q qn-kn-k (二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式)容易驗(yàn)證:Pn(k)=CnkPkqn-k=(p+q)n=1n=1.注:二項(xiàng)概率公式的適用條件:在n次獨(dú)立試驗(yàn)中.試驗(yàn)只考慮兩種可能結(jié)果A和 .隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是p48例:設(shè)射手每一次擊中目標(biāo)的概率為0.3,現(xiàn)連續(xù)射擊4次,試求恰好擊中2次的概率是多少?能擊中目標(biāo)的概率又是多少?則則P(A)=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=1-C400.300.74=1-0.2401=0.7599.解:由二項(xiàng)概率公式知:連續(xù)射擊4次恰好擊中2次的概率為.設(shè)A=能擊中目標(biāo),(即至少有1次擊中)P(A)的另一種解法:(利用對(duì)立事件來(lái)求)P(A)=1-P4(0)P4(2)=C42 P2 q4-2=C420.320.72=0.2646=C410.310.73+C420.320.72+C430.330.71+C4 40.340.70=0.7599.49u何謂隨機(jī)事件,基本事件,復(fù)合事件,必然事件,不可能事件等.u掌握事件間的關(guān)系和運(yùn)算,區(qū)別事件間的互不相容(互斥)關(guān)系,互相對(duì)立(互逆)關(guān)系,懂得利用文氏圖表示隨機(jī)事件間的關(guān)系 和運(yùn)算.u概率的統(tǒng)計(jì)定義:P(A)=pm/n(頻率),注:即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí),可以用事件A的頻率近似地表示 所求的概率.u概率的古典定義:P(A)=M/N,注:此公式僅適用于古典概型:有性,等可能性.第七章概率論基礎(chǔ)小結(jié)(第一節(jié),第二節(jié))第一節(jié)隨機(jī)事件和概率50第二節(jié)概率計(jì)算的基本公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(A,B為任意事件）概率的加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(僅適用于A與B互斥時(shí),即AB=V)P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)(當(dāng)A1,A2,.,An為兩兩互不相容事件時(shí))（是A的對(duì)立事件）P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)=1(當(dāng)A1,A2,.,An為兩兩互不相容事件,且A1+A2+.+An=U)P(A-B)=P(A)-P(B).(僅適用于A B時(shí))51全概率公式：（懂得推導(dǎo)）貝努里概型的二項(xiàng)概率公式：（注意其適用條件）條件概率:概率的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)區(qū)別:P(B),P(B/A),P(AB).隨機(jī)事件的獨(dú)立性:定義式:P(B/A)=P(B)(B獨(dú)立于A),P(A/B)=P(A)(A獨(dú)立于B).注:獨(dú)立性是相互的.A與B獨(dú)立的充要條件:P(AB)=P(A)P(B)若A1,A2,.,An相互獨(dú)立,則P(A1A2.An)=P(A1)P(A2).P(An)(此公式僅僅是n個(gè)事件獨(dú)立的必要條件而非充分條件)5253