《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件,醫(yī)用高等數(shù)學(xué),醫(yī)用,高等數(shù)學(xué),教學(xué),課件 第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是數(shù)量隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是數(shù)量隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身是某種屬性隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身是某種屬性 可人為地進(jìn)行數(shù)量化可人為地進(jìn)行數(shù)量化舉例說明舉例說明:一.隨機(jī)變量:簡單地說隨機(jī)變量就是表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的量.隨機(jī)變量通常用 X,Y,Z,.或,.來表示.隨機(jī)變量的性質(zhì):性質(zhì)1:隨機(jī)變量X取任何值時,其概率都為非負(fù)的.性質(zhì)2:隨機(jī)變量X取所有可能取的值的概率為1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量下面從兩個方面研究隨機(jī)變量：下面從兩個方面研究隨機(jī)變量：隨機(jī)變量可能取哪些值？隨機(jī)變量可能取哪些值？隨機(jī)變量取這些值的可能性有多大？隨機(jī)變量取這些值的可能性有多大？（概率分布）（概率分布）1、離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值只有有限個或者 雖然是無限個但可以逐一列舉 （可列，可數(shù)）二、離散型隨機(jī)變量及其分布：例：產(chǎn)品的次品數(shù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù) 醫(yī)院每天就診的病人數(shù)指出對應(yīng)與每一個可能的試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值，指出對應(yīng)與每一個可能的試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值，即隨機(jī)變量的可取值。即隨機(jī)變量的可取值。指出隨機(jī)變量取這些值的概率有多大？指出隨機(jī)變量取這些值的概率有多大？為了描述離散型隨機(jī)變量，必須做兩件事：將這兩件事寫在一起就形成了離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的的概率分布概率分布2、離散型隨機(jī)變量的、離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布設(shè)x1，x2，是離散型隨機(jī)變量的所有可取值，p1，p2，是取這些值相應(yīng)的概率，即 P P（X=X=x xk k）=p pk k（k=1k=1，2 2，）則稱式為離散型隨機(jī)變量的概率分布，又稱分布律。離散型隨機(jī)變量的概率分布還可以表格的形式出現(xiàn)（分布列）：或：從以上表中告訴我們：隨機(jī)變量可能取哪些值？隨機(jī)變量取這些值的可能性有多大？（概率分布）由概率的性質(zhì)可知pk具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1：0p1（k=1，2，k，）性質(zhì)2：例：以下表格可否作為隨機(jī)變量的分布列？XP-10120.40.40.5-0.3XP-10120.40.40.50.3XP-10120.40.10.20.3二點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布二二點(diǎn)點(diǎn)分布：（又稱分布：（又稱0-10-1分布）分布）適用范圍：只有兩種可能結(jié)果 單次試驗(yàn)概率分布（分布率）：（P為參數(shù)）例：投擲一枚硬幣，令X=1 若投得正面0 若投得正面則X服從 的兩點(diǎn)分布 其分布列為：101/21/2例：某種藥物對病人治療結(jié)果分為“有效”和“無效”二二項(xiàng)項(xiàng)分布：分布：（來源于n重貝努里試驗(yàn)）適用范圍：每個試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：成功與失?。òl(fā)生與不發(fā)生）n次試驗(yàn)是獨(dú)立的每次試驗(yàn)中“成功”（或“發(fā)生”）的概率都是p若隨機(jī)變量X的概率分布為：（參數(shù)為n，p）其中0p1，q=1-p，例：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立 射擊400次，試求擊中的次數(shù)大于，等于2的概率。解：將每次射擊看成是一次試驗(yàn)，設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X服從參數(shù)為n=400，p=0.02的二項(xiàng)分布，其分布律為：P(X=k)=Ck400(0.02)K(0.98)400-K(K=0,1,2,.400)P(X2）=1-P（X2）=1-P（X=0）+P（X=1）=1-C0400（0.02)0(0.98)400+C1400(0.02)1(0.98)399 泊松分布：泊松分布：適用范圍：眾多個體（n很大）每個個體出現(xiàn)的概率相同且很?。≒很?。┟總€個體出現(xiàn)是 彼此獨(dú)立的例：在500毫升微生物溶液中，含某種微生物的濃度是 0.3只/毫升，今從中抽取1毫升溶液，試問在這1毫升 溶液中，含有多于2只微生物的概率是多少？解：分析：500毫升微生物溶液中共有5000.3=150（只）該種微生物，對于每只微生物而言，它落在被抽取的那一毫升溶液中的概率都是1/500=0.002，這就相當(dāng)于進(jìn)行p=0.002的150重貝努里試驗(yàn)。n大p小，可看成服從泊松分布，=np=1500.002=0.3=0.003599幾種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布二點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布適用范圍：適用范圍：適用范圍：只有兩種可能結(jié)果單次試驗(yàn)眾多個體（n很大）每個個體出現(xiàn)的概率 相同且很?。≒很?。┟總€個體出現(xiàn)是 彼此獨(dú)立的只有兩種可能結(jié)果n次試驗(yàn)是獨(dú)立的XB（n，p）三、分布函數(shù)：分布函數(shù)F(x)表示的是概率分布函數(shù)：分布函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1、單調(diào)不減性，即若ab，則F(a)F(b)F(b)-F(a)=P(Xb)-P(Xa)=P(aXb)0性質(zhì)2、0F(x)1性質(zhì)3、即F(-)=0,F(+)=1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：注：式中的和號是對所有 的 k 累加的。在 處具有跳躍點(diǎn)，其跳躍值為 即 （由此可見，分布函數(shù)與分布列（或概率分布）是相互決定的）求求離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，有兩種方法：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，有兩種方法：按定義按定義 直接求直接求先求分布律，然后按公式求先求分布律，然后按公式求 （即（即 ）例：袋中有標(biāo)號為例：袋中有標(biāo)號為-1-1，1 1，1 1，2 2，2 2，2 2六個球，從中任取一個球，六個球，從中任取一個球，求所取得的球的標(biāo)號求所取得的球的標(biāo)號X X的分布律和分布函數(shù)，并畫出圖象。的分布律和分布函數(shù)，并畫出圖象。解:分布列為：-1121/61/31/2分布函數(shù)：當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，=1/2=101/61/21-112301/61/21連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：下面先介紹連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值不是不是有限個有限個 （可數(shù)個）散點(diǎn)，而是（可數(shù)個）散點(diǎn)，而是布滿一個連續(xù)布滿一個連續(xù)的區(qū)間的區(qū)間例如：人們的身高，體重，體溫，血壓以及各種激素的測量值等等。下面先介紹概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)的定義：的定義：則稱 X 連續(xù)型隨機(jī)變量，X 的概率密度函數(shù) （又稱概率密度或分布密度）設(shè)X是一個隨機(jī)變量，如果存在非負(fù)可積函數(shù) ，使得對任意實(shí)數(shù)a，b（ab）都有下面式子成立，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 有以下性質(zhì)：性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3、（而對于離散型 P（aXb）=F(b)-F(a)中 卻一定要1)概率密度函數(shù)解：P(X4)=F(4)=1-e-x x=4=1-e-4P(X1)=1-P(X1)=1-F(1)=1-（1-e-1)=e-1=例：A為何值時，函數(shù) 才成為隨機(jī)變量X的密 度函數(shù)，并求X的分布函數(shù)，X落在內(nèi)(-1,1)的概率解：要使出 成為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，必須 P(-1X1)=F(1)-F(-1)=1/2三種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布：均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布（重點(diǎn)）1、均勻分布：若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為則稱X在a，b區(qū)間上服從均勻分布,記作X Ua,b0abxycd對于任一區(qū)間a，b都有：例：假定新生嬰兒體長在40厘米至60厘米之間均勻分布，試求嬰兒出生時體長在50至60厘米之間的概率。解：設(shè)隨機(jī)變量X表示新生嬰兒體長2、指數(shù)分布：（自學(xué)）3、正態(tài)分布：隨機(jī)變量特點(diǎn)：其取值是“中間多，兩頭少，左右對稱”例如：我國北方成年男子平均身高是1.70米，又如：班級考試成績，-yx0正態(tài)分布定義：-yx0如果隨機(jī)變量X具有如下概率密度函數(shù)：（-X 0），則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，記作正態(tài)曲線正態(tài)曲線具有以下的性質(zhì)：連續(xù)性：是位于 軸上方 的一條連續(xù)曲線。對稱性：曲線是關(guān)于 對稱。漸近線：以 軸為漸近線。正態(tài)曲線下的面積等于1，即常數(shù)，完全確定正態(tài)曲線的位置與形狀。-x0常數(shù)，完全確定正態(tài)曲線的位置與形狀。、反映隨機(jī)變量取值的 集中位置的參數(shù)。x0 x0、反映隨機(jī)變量取值的離散程度的參數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)：由得：F（）=0.500.51F(x)x正態(tài)分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：F(x)是一個增函數(shù),F（-）=0（即F(x)以x軸為漸近線）F（+）=1（即F(x)以直線y=1為漸近線）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：以 為參數(shù)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布記作：X N（0，1）其概率密度函數(shù)為：（-x +）其分布函數(shù)為：（-x +）=0標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為：（-x +）=0由圖中可看出：正態(tài)分布表給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 數(shù)值表當(dāng) 時，則利用上式來求。例：設(shè)隨機(jī)變量X N（0，1）求：P(X 2.35)解：P（X 2.35)=P(X2.35)=(2.35)0.9906=(1.55)-(-1.55)=(1.55)-1-(1.55)=2(1.55)-1=20.9394-1=0.8788非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率的計算：步驟：化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（太繁瑣）例：設(shè)XN(3,22),試求 P(2a)=P(Xa)解：=0.8413-1-0.6915=0.5328例：高等學(xué)校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布 N(65,102),如果85分以上為“優(yōu)秀”，問數(shù)學(xué)成績 為“優(yōu)秀”，的考生大致占人數(shù)的百分之幾？解：設(shè)高等學(xué)校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績X為隨機(jī)變量